Функции y₁=y₁ (x) и y₂=y₂ (x) называются линейно … на (a,b), если равенство α₁y₁+α₂y₂+0 выполняется тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел α₁ или α₂ отлично от нуля

Другие предметы Университет Линейная алгебра линейные функции высшая математика университет системы уравнений линейная зависимость математический анализ векторные пространства решение уравнений свойства функций математические теории Новый

Функции y₁ = y₁(x) и y₂ = y₂(x) называются линейно независимыми на интервале (a, b), если выполняется следующее условие:

• Равенство α₁y₁ + α₂y₂ = 0 выполняется только в том случае, если оба коэффициента α₁ и α₂ равны нулю.

Теперь давайте разберем, что это значит и как это можно проверить:

1. Определение линейной зависимости: Если существуют такие не все нулевые коэффициенты α₁ и α₂, при которых равенство α₁y₁ + α₂y₂ = 0 выполняется, то функции y₁ и y₂ называются линейно зависимыми.
2. Определение линейной независимости: Если единственным решением уравнения α₁y₁ + α₂y₂ = 0 является α₁ = 0 и α₂ = 0, то функции y₁ и y₂ линейно независимы.

Чтобы проверить линейную независимость двух функций, можно использовать следующие методы:

• Метод Вронского: Вычислить детерминант Вронского, который определяется как W(y₁, y₂) = y₁ * y₂' - y₂ * y₁'. Если W(y₁, y₂) не равен нулю на интервале (a, b), то функции линейно независимы.
• Графический метод: Если графики функций y₁ и y₂ пересекаются только в одной точке (или не пересекаются вовсе), то функции, скорее всего, линейно независимы.

Таким образом, линейная независимость функций является важным понятием в высшей математике и имеет множество применений, например, в решении дифференциальных уравнений и в теории векторных пространств.