Исследуйте ряд на сходимость 1 / 3 – 1 / 4 + 1 / 5 – 1 / 6 + … + (-1)ⁿ⁺¹ ⋅ 1 / (n + 2) + ...

• сходится
• расходится
• абсолютно сходится
• ничего нельзя сказать о сходимости ряда

Другие предметы Университет Сходимость рядов ряд на сходимость высшая математика университет исследование ряда абсолютная сходимость условия сходимости математический анализ Новый

Для исследования сходимости данного ряда, давайте запишем его в более удобной форме. Мы имеем ряд:

R = 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... + (-1)^(n+1) * 1/(n+2) + ...

Этот ряд является знакопеременным, так как его члены чередуются по знаку. Для исследования сходимости знакопеременных рядов мы можем использовать критерий Лейбница, который гласит, что ряд вида:

• Σ (-1)^(n) * a_n, где a_n > 0, сходится, если:
1. Последовательность {a_n} убывает: a_n > a_(n+1) для всех n;
2. Предел a_n стремится к нулю: lim (n→∞) a_n = 0.

В нашем случае:

• Члены ряда: a_n = 1/(n+2) для n = 1, 2, 3, ...

Теперь проверим условия критерия Лейбница:

1. Убывание последовательности: Сравним a_n и a_(n+1):
• a_n = 1/(n+2)
• a_(n+1) = 1/(n+3)
• Сравнивая, мы видим, что 1/(n+2) > 1/(n+3), так как n+2 < n+3. Это означает, что последовательность {a_n} убывает.
2. Предел последовательности: Найдем предел a_n:
• lim (n→∞) a_n = lim (n→∞) 1/(n+2) = 0.

Оба условия критерия Лейбница выполнены, следовательно, ряд R сходится.

Теперь проверим абсолютную сходимость:

Для этого рассмотрим ряд абсолютных значений:

Σ |(-1)^(n+1) * 1/(n+2)| = Σ 1/(n+2)

Этот ряд является гармоническим рядом, который расходится, так как:

Σ 1/n расходится, следовательно, и Σ 1/(n+2) также расходится.

Таким образом, ряд R не сходится абсолютно.

В заключение: Мы установили, что ряд сходится по критерию Лейбница, но не сходится абсолютно. Ответ на ваш вопрос:

Ряд сходится, но не абсолютно.