Замечательные пределы — это пределы, которые часто используются в математическом анализе и помогают упростить вычисления в различных задачах. Рассмотрим несколько из них:

1. Предел функции синуса:

   Предел sin(x)/x при x, стремящемся к 0, равен 1. Этот предел часто используется в задачах, связанных с тригонометрическими функциями. Он записывается следующим образом:

   lim (x → 0) (sin(x)/x) = 1

2. Предел экспоненты:

   Предел (1 + x)^(1/x) при x, стремящемся к 0, равен числу e (примерно 2.718). Этот предел является основой для определения числа e и используется в задачах, связанных с экспоненциальными функциями:

   lim (x → 0) (1 + x)^(1/x) = e

3. Предел логарифма:

   Предел (ln(1 + x))/x при x, стремящемся к 0, равен 1. Это важный предел, который используется в задачах, связанных с логарифмическими функциями:

   lim (x → 0) (ln(1 + x)/x) = 1

4. Предел для косинуса:

   Предел (1 - cos(x))/x^2 при x, стремящемся к 0, равен 1/2. Этот предел используется в задачах, связанных с приближениями тригонометрических функций:

   lim (x → 0) (1 - cos(x))/x^2 = 1/2

Эти пределы помогают упростить вычисления и являются основой для решения многих задач в математическом анализе. Знание и понимание их свойств важно для успешного изучения темы пределов и производных.