Найдите предел lim ((2 + x) / (3 + x))ˣ, при x ⟶ ∞

• e^-1
• ∞
• -1
• 0

Другие предметы Университет Пределы и бесконечности предел высшая математика предел lim предел функции университетская математика предел при x стремящемся к бесконечности Новый

Для нахождения предела lim ((2 + x) / (3 + x))^x при x → ∞, давайте разберем выражение внутри предела.

Сначала упростим дробь:

• (2 + x) / (3 + x) = (x + 2) / (x + 3).

Теперь, когда x стремится к бесконечности, мы можем доминирующие члены в числителе и знаменателе:

• (x + 2) / (x + 3) = 1 + (2 - 3) / (x + 3) = 1 - 1/(x + 3).

Таким образом, при x → ∞, (2 + x) / (3 + x) стремится к 1:

• lim (x → ∞) (2 + x) / (3 + x) = 1.

Теперь подставим это обратно в предел:

• lim (x → ∞) ((2 + x) / (3 + x))^x = lim (x → ∞) (1 - 1/(x + 3))^x.

Теперь рассмотрим выражение (1 - 1/(x + 3))^x. Это выражение можно преобразовать, используя известный предел:

• lim (n → ∞) (1 - 1/n)^n = e^(-1).

В нашем случае, мы можем сделать замену:

• n = x + 3, тогда при x → ∞, n → ∞.

Следовательно, мы имеем:

• lim (x → ∞) (1 - 1/(x + 3))^x = lim (n → ∞) (1 - 1/n)^(n - 3) = e^(-1).

Таким образом, предел равен:

e^(-1)