Чтобы найти предел lim (1 + x)^(2/x) при x стремящемся к бесконечности, давайте рассмотрим выражение более подробно.

1. Начнем с преобразования предела:

lim (1 + x)^(2/x) = lim e^(ln((1 + x)^(2/x))) = lim e^(2/x * ln(1 + x)).

2. Теперь нам нужно найти предел 2/x * ln(1 + x) при x стремящемся к бесконечности. Для этого сначала найдем предел ln(1 + x):

ln(1 + x) = ln(x(1 + 1/x)) = ln(x) + ln(1 + 1/x).

3. При x стремящемся к бесконечности, ln(1 + 1/x) стремится к 0, поэтому:

ln(1 + x) ~ ln(x) при x → ∞.

4. Теперь подставим это в наш предел:

2/x * ln(1 + x) ~ 2/x * ln(x).

5. Мы можем упростить 2/x * ln(x):

lim (2/x * ln(x)) = lim (2 * ln(x)/x).

6. Чтобы найти этот предел, применим правило Лопиталя, так как это неопределенность вида ∞/∞:

1. Найдём производные числителя и знаменателя:
• Производная числителя 2 * ln(x) равна 2/x.
• Производная знаменателя x равна 1.
2. Теперь применим правило Лопиталя:

lim (2 * ln(x)/x) = lim (2/x) = 0 при x → ∞.

7. Таким образом, мы получили:

lim (2/x * ln(1 + x)) = 0 при x → ∞.

8. Теперь вернемся к нашему исходному пределу:

lim e^(2/x * ln(1 + x)) = e^0 = 1.

Итак, предел lim (1 + x)^(2/x) при x стремящемся к бесконечности равен: