Похожие вопросы
2025-02-26 23:18:15
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y''+4y'=10x2+1 имеет частное решение с неопределенными коэффициентами вида …
Другие предметы Университет Методы решения дифференциальных уравнений линейное неоднородное дифференциальное уравнение частное решение неопределенные коэффициенты математика университет Дифференциальные уравнения решение уравнений методы решения математический анализ
2025-07-19 09:52:02
Для решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, мы сначала должны найти частное решение уравнения. Уравнение имеет вид:
y'' + 4y' = 10x² + 1
Частное решение ищется методом неопределенных коэффициентов. Для этого нам нужно предположить форму частного решения, которая соответствует правой части уравнения, то есть 10x² + 1.
Поскольку правая часть является многочленом второй степени, мы предполагаем, что частное решение также будет многочленом второй степени:
yₚ = Ax² + Bx + C
Теперь нам нужно найти производные этого предполагаемого решения:
- Первая производная: yₚ' = 2Ax + B
- Вторая производная: yₚ'' = 2A
Подставим yₚ, yₚ', и yₚ'' в исходное уравнение:
2A + 4(2Ax + B) = 10x² + 1
Раскроем скобки и упрощаем:
2A + 8Ax + 4B = 10x² + 1
Теперь мы сопоставляем коэффициенты с правой частью уравнения:
- Коэффициент при x²: 0 = 10
- Коэффициент при x: 8A = 0
- Свободный член: 2A + 4B = 1
Решаем систему уравнений:
- 8A = 0 → A = 0
- 2A + 4B = 1 → 0 + 4B = 1 → B = 1/4
Таким образом, частное решение будет иметь вид:
yₚ = (1/4)x + C
Где C - неопределенный коэффициент, который может быть найден в зависимости от начальных условий задачи, если они будут предоставлены.
