Найдите общее решение уравнения y' - y / x = x(x + 2)

Другие предметы Университет Методы решения дифференциальных уравнений математический анализ решение уравнения Дифференциальные уравнения университет y' - y / x = x(x + 2) общее решение методы анализа математические методы курс математического анализа Новый

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение первого порядка, начнем с его записи:

y' - y / x = x(x + 2)

Это уравнение можно привести к стандартному виду линейного уравнения:

y' + P(x)y = Q(x)

Где:

• P(x) = -1/x
• Q(x) = x(x + 2)

Теперь мы можем найти интегрирующий множитель, который обозначим как μ(x). Он вычисляется по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx)

Подставим P(x):

μ(x) = e^(∫(-1/x)dx) = e^(-ln|x|) = 1/|x|

Теперь, умножим все уравнение на интегрирующий множитель:

(1/|x|)(y' - y/x) = (1/|x|)x(x + 2)

Это упрощается до:

(1/|x|)y' - (1/x^2)y = (x + 2)

Теперь левая часть уравнения является производной произведения:

d/dx(y/|x|) = (x + 2)

Теперь интегрируем обе стороны:

∫d/dx(y/|x|)dx = ∫(x + 2)dx

Это дает:

y/|x| = (x^2/2 + 2x) + C

Где C - произвольная константа интегрирования. Умножим обе стороны на |x|:

y = |x|(x^2/2 + 2x) + C|x|

Теперь, чтобы убрать модуль, рассмотрим два случая:

1. Если x > 0, то |x| = x, и у нас получается:

y = x(x^2/2 + 2x) + Cx

2. Если x < 0, то |x| = -x, и у нас получается:

y = -x(x^2/2 + 2x) - Cx

Таким образом, общее решение уравнения будет иметь вид:

y = x(x^2/2 + 2x) + Cx, x > 0

y = -x(x^2/2 + 2x) - Cx, x < 0

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.