Похожие вопросы
2025-03-10 22:24:02
Найдите общее решение уравнения y' - y / x = x(x + 2)
Другие предметы Университет Методы решения дифференциальных уравнений математический анализ решение уравнения Дифференциальные уравнения университет y' - y / x = x(x + 2) общее решение методы анализа математические методы курс математического анализа
2025-03-10 22:24:21
Чтобы решить данное дифференциальное уравнение первого порядка, начнем с его записи:
y' - y / x = x(x + 2)
Это уравнение можно привести к стандартному виду линейного уравнения:
y' + P(x)y = Q(x)
Где:
- P(x) = -1/x
- Q(x) = x(x + 2)
Теперь мы можем найти интегрирующий множитель, который обозначим как μ(x). Он вычисляется по формуле:
μ(x) = e^(∫P(x)dx)
Подставим P(x):
μ(x) = e^(∫(-1/x)dx) = e^(-ln|x|) = 1/|x|
Теперь, умножим все уравнение на интегрирующий множитель:
(1/|x|)(y' - y/x) = (1/|x|)x(x + 2)
Это упрощается до:
(1/|x|)y' - (1/x^2)y = (x + 2)
Теперь левая часть уравнения является производной произведения:
d/dx(y/|x|) = (x + 2)
Теперь интегрируем обе стороны:
∫d/dx(y/|x|)dx = ∫(x + 2)dx
Это дает:
y/|x| = (x^2/2 + 2x) + C
Где C - произвольная константа интегрирования. Умножим обе стороны на |x|:
y = |x|(x^2/2 + 2x) + C|x|
Теперь, чтобы убрать модуль, рассмотрим два случая:
- Если x > 0, то |x| = x, и у нас получается:
- Если x < 0, то |x| = -x, и у нас получается:
y = x(x^2/2 + 2x) + Cx
y = -x(x^2/2 + 2x) - Cx
Таким образом, общее решение уравнения будет иметь вид:
y = x(x^2/2 + 2x) + Cx, x > 0
y = -x(x^2/2 + 2x) - Cx, x < 0
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.
