Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с правой частью в виде многочлена, мы используем метод неопределенных коэффициентов. Давайте разберемся, как это сделать на примере уравнения:

y'' + 4y' = 10x² + 1.

Шаги решения:

1. Найти общее решение однородного уравнения:

Сначала решим соответствующее однородное уравнение:

y'' + 4y' = 0.

Характеристическое уравнение для этого будет:

r² + 4r = 0,

которое можно разложить как:

r(r + 4) = 0.

Отсюда получаем корни: r₁ = 0 и r₂ = -4.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C₁ + C₂e^-4x,

где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

2. Найти частное решение неоднородного уравнения:

Для правой части 10x² + 1 мы предположим частное решение в виде многочлена той же степени, что и правая часть, то есть:

y̅ = Ax² + Bx + C.

3. Подставить y̅ в уравнение и найти неопределенные коэффициенты:

Найдём производные:

• y̅' = 2Ax + B,
• y̅'' = 2A.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

2A + 4(2Ax + B) = 10x² + 1.

Раскроем скобки и упростим:

2A + 8Ax + 4B = 10x² + 1.

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x на обеих сторонах уравнения:

• Для x²: 0 = 10, что невозможно, значит, мы допустили ошибку в предположении. Поскольку правой частью является многочлен второй степени, а однородное решение содержит постоянный член, следует взять частное решение в виде: y̅ = Ax² + Bx + Cx + D.
• Для x: 8A = 0, значит, A = 0.
• Для x⁰: 2A + 4B = 1, значит, подставляем A = 0, получаем 4B = 1, отсюда B = 1/4.
4. Записать общее решение:

Теперь, зная частное решение y̅ = 0x² + (1/4)x + Cx + D, где C и D - произвольные постоянные, общее решение уравнения будет:

y = C₁ + C₂e^-4x + (1/4)x + Cx + D.

Таким образом, мы нашли общее решение для данного линейного неоднородного дифференциального уравнения.