Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка, представленного в виде:

y' + (1/x)y = sin(x)/x

мы можем использовать метод нахождения общего решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Это уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = Q(x)

где P(x) = 1/x и Q(x) = sin(x)/x.

Шаги решения:

1. Найти интегрирующий множитель:

Интегрирующий множитель μ(x) находится по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx)

В нашем случае P(x) = 1/x, поэтому:

μ(x) = e^(∫(1/x)dx) = e^(ln|x|) = |x|

Так как x является независимой переменной, мы можем предположить, что x > 0, и тогда |x| = x.

2. Умножить уравнение на интегрирующий множитель:

Умножаем все уравнение на x:

x(y' + (1/x)y) = x(sin(x)/x)

Это упрощается до:

xy' + y = sin(x)

3. Переписать левую часть уравнения как производную:

Левая часть уравнения xy' + y можно записать как производную произведения:

d(xy)/dx = xy' + y

Таким образом, уравнение становится:

d(xy)/dx = sin(x)

4. Интегрировать обе части уравнения:

Интегрируем обе части по x:

∫d(xy) = ∫sin(x)dx

Это дает:

xy = -cos(x) + C

где C — произвольная постоянная интегрирования.

5. Найти общее решение:

Выразим y:

y = (-cos(x) + C)/x

Таким образом, общее решение уравнения y' + y/x = sin(x)/x имеет вид:

y(x) = (-cos(x) + C)/x

где C — произвольная постоянная. Это решение описывает все возможные функции y(x),которые удовлетворяют данному дифференциальному уравнению.