Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале. х⁵- 10х+ 3 = 0. (1.5,2). ε = 0.05

• 00017
• 0.11
• 0.0000011
• 1.72

Другие предметы Университет Метод бисекции вычислительные методы метод бисекции корень уравнения заданная точность интервал х5-10х+3=0 ε=0.05000170 математический анализ Новый

Для нахождения корня уравнения x^5 - 10x + 3 = 0 на заданном интервале (1.5, 2) методом бисекции, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Проверка наличия корня на интервале

Сначала мы должны убедиться, что на данном интервале (1.5, 2) функция меняет знак. Это можно сделать, вычислив значения функции в конце интервала:

• f(1.5) = (1.5)^5 - 10*(1.5) + 3 = 7.59375 - 15 + 3 = -4.40625
• f(2) = (2)^5 - 10*(2) + 3 = 32 - 20 + 3 = 15

Так как f(1.5) < 0 и f(2) > 0, значит, по теореме Больцано, на интервале (1.5, 2) существует хотя бы один корень.

Шаг 2: Применение метода бисекции

Теперь мы можем применить метод бисекции. Начальные значения a = 1.5 и b = 2.

Шаг 3: Итерации метода бисекции

Мы будем выполнять итерации, пока длина интервала не станет меньше заданной точности ε = 0.0500017.

1. На каждой итерации вычисляем середину интервала: c = (a + b) / 2.
2. Вычисляем значение функции в середине: f(c).
3. Если f(c) = 0, то c - корень. Если f(c) < 0, то a = c, иначе b = c.
4. Проверяем, если b - a < ε, то останавливаемся.

Теперь проведем итерации:

Итерация 1:

• a = 1.5, b = 2, c = (1.5 + 2) / 2 = 1.75
• f(1.75) = (1.75)^5 - 10*(1.75) + 3 = 13.576171875 - 17.5 + 3 = -0.923828125
• Так как f(1.75) < 0, устанавливаем a = 1.75.

Итерация 2:

• a = 1.75, b = 2, c = (1.75 + 2) / 2 = 1.875
• f(1.875) = (1.875)^5 - 10*(1.875) + 3 = 24.4140625 - 18.75 + 3 = 8.6640625
• Так как f(1.875) > 0, устанавливаем b = 1.875.

Итерация 3:

• a = 1.75, b = 1.875, c = (1.75 + 1.875) / 2 = 1.8125
• f(1.8125) = (1.8125)^5 - 10*(1.8125) + 3 = 19.12744140625 - 18.125 + 3 = 4.00244140625
• Так как f(1.8125) > 0, устанавливаем b = 1.8125.

Итерация 4:

• a = 1.75, b = 1.8125, c = (1.75 + 1.8125) / 2 = 1.78125
• f(1.78125) = (1.78125)^5 - 10*(1.78125) + 3 = 16.470703125 - 17.8125 + 3 = 1.658203125
• Так как f(1.78125) > 0, устанавливаем b = 1.78125.

Итерация 5:

• a = 1.75, b = 1.78125, c = (1.75 + 1.78125) / 2 = 1.765625
• f(1.765625) = (1.765625)^5 - 10*(1.765625) + 3 = 15.211181640625 - 17.65625 + 3 = 0.555931640625
• Так как f(1.765625) > 0, устанавливаем b = 1.765625.

Итерация 6:

• a = 1.75, b = 1.765625, c = (1.75 + 1.765625) / 2 = 1.7578125
• f(1.7578125) = (1.7578125)^5 - 10*(1.7578125) + 3 = 14.8966064453125 - 17.578125 + 3 = 0.3184814453125
• Так как f(1.7578125) > 0, устанавливаем b = 1.7578125.

Итерация 7:

• a = 1.75, b = 1.7578125, c = (1.75 + 1.7578125) / 2 = 1.75390625
• f(1.75390625) = (1.75390625)^5 - 10*(1.75390625) + 3 = 14.7393798828125 - 17.5390625 + 3 = 0.2003173828125
• Так как f(1.75390625) > 0, устанавливаем b = 1.75390625.

Итерация 8:

• a = 1.75, b = 1.75390625, c = (1.75 + 1.75390625) / 2 = 1.751953125
• f(1.751953125) = (1.751953125)^5 - 10*(1.751953125) + 3 = 14.6728515625 - 17.51953125 + 3 = 0.1533203125
• Так как f(1.751953125) > 0, устанавливаем b = 1.751953125.

Итерация 9:

• a = 1.75, b = 1.751953125, c = (1.75 + 1.751953125) / 2 = 1.7509765625
• f(1.7509765625) = (1.7509765625)^5 - 10*(1.7509765625) + 3 = 14.6466064453125 - 17.509765625 + 3 = 0.09326171875
• Так как f(1.7509765625) > 0, устанавливаем b = 1.7509765625.

Итерация 10:

• a = 1.75, b = 1.7509765625, c = (1.75 + 1.7509765625) / 2 = 1.75048828125
• f(1.75048828125) = (1.75048828125)^5 - 10*(1.75048828125) + 3 = 14.63330078125 - 17.5048828125 + 3 = 0.0283203125
• Так как f(1.75048828125) > 0, устанавливаем b = 1.75048828125.

Итерация 11:

• a = 1.75, b = 1.75048828125, c = (1.75 + 1.75048828125) / 2 = 1.750244140625
• f(1.750244140625) = (1.750244140625)^5 - 10*(1.750244140625) + 3 = 14.627197265625 - 17.50244140625 + 3 = 0.00390625
• Так как f(1.750244140625) > 0, устанавливаем b = 1.750244140625.

Итерация 12:

• a = 1.75, b = 1.750244140625, c = (1.75 + 1.750244140625) / 2 = 1.7501220703125
• f(1.7501220703125) = (1.7501220703125)^5 - 10*(1.7501220703125) + 3 = 14.6240997314453125 - 17.501220703125 + 3 = -0.00146484375
• Так как f(1.7501220703125) < 0, устанавливаем a = 1.7501220703125.

Итерация 13:

• a = 1.7501220703125, b = 1.750244140625, c = (1.7501220703125 + 1.750244140625) / 2 = 1.75018310546875
• f(1.75018310546875) = (1.75018310546875)^5 - 10*(1.75018310546875) + 3 = 14.6260986328125 - 17.5015869140625 + 3 = 0.001220703125
• Так как f(1.75018310546875) > 0, устанавливаем b = 1.75018310546875.

Итерация 14:

• a = 1.7501220703125, b = 1.75018310546875, c = (1.7501220703125 + 1.75018310546875) / 2 = 1.750152587890625
• f(1.750152587890625) = (1.750152587890625)^5 - 10*(1.750152587890625) + 3 = 14.62509918212890625 - 17.501220703125 + 3 = -0.0001220703125
• Так как f(1.750152587890625) < 0, устанавливаем a = 1.750152587890625.

Итерация 15:

• a = 1.750152587890625, b = 1.75018310546875, c = (1.750152587890625 + 1.75018310546875) / 2 = 1.7501678466796875
• f(1.7501678466796875) = (1.7501678466796875)^5 - 10*(1.7501678466796875) + 3 = 14.62509918212890625 - 17.501220703125 + 3 = 0.00054931640625
• Так как f(1.7501678466796875) > 0, устанавливаем b = 1.7501678466796875.

Теперь проверим длину интервала:

Длина интервала = b - a = 1.7501678466796875 - 1.750152587890625 = 0.0000152587890625, что меньше ε = 0.0500017.

Результат:

Корень уравнения x^5 - 10x + 3 = 0 на интервале (1.5, 2) методом бисекции равен примерно 1.7501602172851562 с точностью ε = 0.0500017.