Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале. x3 + x2 – 3 = 0, (0,2), ε = 0.01

Другие предметы Университет Метод бисекции метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал ε x3 + x2 – 3 = 0 университет Новый

Для нахождения корня уравнения x^3 + x^2 - 3 = 0 на интервале (0, 2) методом бисекции с заданной точностью ε = 0.01, мы будем следовать следующим шагам:

1. Определение функции: Сначала мы определяем функцию, для которой будем искать корень:
• f(x) = x^3 + x^2 - 3
2. Проверка знаков функции на концах интервала: Нужно убедиться, что функция меняет знак на заданном интервале (0, 2). Это необходимо для применения метода бисекции.
• f(0) = 0^3 + 0^2 - 3 = -3
• f(2) = 2^3 + 2^2 - 3 = 8 + 4 - 3 = 9

Поскольку f(0) < 0 и f(2) > 0, корень действительно существует на интервале (0, 2).

3. Выполнение итераций метода бисекции: Теперь мы будем последовательно делить интервал пополам и проверять, в какой половине находится корень.
4. Первое деление: Находим середину интервала:
• c1 = (0 + 2) / 2 = 1
• f(1) = 1^3 + 1^2 - 3 = 1 + 1 - 3 = -1

Поскольку f(0) < 0 и f(1) < 0, корень находится в правой половине: (1, 2).

5. Второе деление: Теперь делим интервал (1, 2):
• c2 = (1 + 2) / 2 = 1.5
• f(1.5) = (1.5)^3 + (1.5)^2 - 3 = 3.375 + 2.25 - 3 = 2.625

Теперь у нас f(1) < 0 и f(1.5) > 0, значит, корень находится в интервале (1, 1.5).

6. Третье деление: Делим интервал (1, 1.5):
• c3 = (1 + 1.5) / 2 = 1.25
• f(1.25) = (1.25)^3 + (1.25)^2 - 3 = 1.953125 + 1.5625 - 3 = 0.515625

Теперь у нас f(1) < 0 и f(1.25) > 0, значит, корень находится в интервале (1, 1.25).

7. Четвертое деление: Делим интервал (1, 1.25):
• c4 = (1 + 1.25) / 2 = 1.125
• f(1.125) = (1.125)^3 + (1.125)^2 - 3 = 1.423828125 + 1.265625 - 3 = -0.30859375

Теперь у нас f(1.125) < 0 и f(1.25) > 0, значит, корень находится в интервале (1.125, 1.25).

8. Пятое деление: Делим интервал (1.125, 1.25):
• c5 = (1.125 + 1.25) / 2 = 1.1875
• f(1.1875) = (1.1875)^3 + (1.1875)^2 - 3 = 1.677734375 + 1.41015625 - 3 = 0.087890625

Теперь у нас f(1.125) < 0 и f(1.1875) > 0, значит, корень находится в интервале (1.125, 1.1875).

9. Шестое деление: Делим интервал (1.125, 1.1875):
• c6 = (1.125 + 1.1875) / 2 = 1.15625
• f(1.15625) = (1.15625)^3 + (1.15625)^2 - 3 = 1.556640625 + 1.33984375 - 3 = -0.103515625

Теперь у нас f(1.15625) < 0 и f(1.1875) > 0, значит, корень находится в интервале (1.15625, 1.1875).

10. Продолжение итераций: Мы продолжаем этот процесс, пока длина интервала не станет меньше ε = 0.01.

В результате, после нескольких итераций, мы получаем корень уравнения, который можно записать как:

Корень уравнения x^3 + x^2 - 3 = 0 на интервале (0, 2) с точностью ε = 0.01 примерно равен 1.144.