Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале. x5 – 10x + 3 = 0, (1.5,2), ε = 0.05

Другие предметы Университет Метод бисекции метод бисекции корень уравнения вычислительные методы заданная точность интервал ε = 0.05 x5 – 10x + 3 = 0 Новый

Для нахождения корня уравнения x^5 - 10x + 3 = 0 методом бисекции на заданном интервале (1.5, 2) с заданной точностью ε = 0.05, следуем следующим шагам:

1. Проверка условия на наличие корня:

   Сначала необходимо убедиться, что на заданном интервале (1.5, 2) функция меняет знак. Это можно сделать, подставив границы интервала в уравнение:

   • f(1.5) = (1.5)^5 - 10*(1.5) + 3 = 7.59375 - 15 + 3 = -4.40625
   • f(2) = (2)^5 - 10*(2) + 3 = 32 - 20 + 3 = 15

   Так как f(1.5) < 0 и f(2) > 0, то по теореме Больцано на интервале (1.5, 2) действительно есть корень.

2. Определение средней точки:

   Теперь мы можем начать метод бисекции. На каждой итерации мы будем находить середину интервала и проверять знак функции в этой точке:

   • x_mid = (1.5 + 2) / 2 = 1.75
   • f(1.75) = (1.75)^5 - 10*(1.75) + 3 = 7.59375 - 17.5 + 3 = -6.90625

   Так как f(1.75) < 0, то корень находится между 1.75 и 2. Обновляем границы интервала:

   • Новый интервал: (1.75, 2)
3. Повторение процесса:

   Продолжаем итерации, пока длина интервала не станет меньше ε:

   • 1. Итерация 1:
     • x_mid = (1.75 + 2) / 2 = 1.875
     • f(1.875) = (1.875)^5 - 10*(1.875) + 3 = -1.677734375

     Корень между 1.875 и 2.

   • 2. Итерация 2:
     • x_mid = (1.875 + 2) / 2 = 1.9375
     • f(1.9375) = (1.9375)^5 - 10*(1.9375) + 3 = 2.396728515625

     Корень между 1.875 и 1.9375.

   • 3. Итерация 3:
     • x_mid = (1.875 + 1.9375) / 2 = 1.90625
     • f(1.90625) = (1.90625)^5 - 10*(1.90625) + 3 = 0.31488037109375

     Корень между 1.875 и 1.90625.

   • 4. Итерация 4:
     • x_mid = (1.875 + 1.90625) / 2 = 1.890625
     • f(1.890625) = (1.890625)^5 - 10*(1.890625) + 3 = -0.674560546875

     Корень между 1.890625 и 1.90625.

   • 5. Итерация 5:
     • x_mid = (1.890625 + 1.90625) / 2 = 1.8984375
     • f(1.8984375) = (1.8984375)^5 - 10*(1.8984375) + 3 = -0.179290771484375

     Корень между 1.8984375 и 1.90625.

   • 6. Итерация 6:
     • x_mid = (1.8984375 + 1.90625) / 2 = 1.90234375
     • f(1.90234375) = (1.90234375)^5 - 10*(1.90234375) + 3 = 0.067840576171875

     Корень между 1.8984375 и 1.90234375.

   • 7. Итерация 7:
     • x_mid = (1.8984375 + 1.90234375) / 2 = 1.900390625
     • f(1.900390625) = (1.900390625)^5 - 10*(1.900390625) + 3 = -0.055267333984375

     Корень между 1.900390625 и 1.90234375.

   • 8. Итерация 8:
     • x_mid = (1.900390625 + 1.90234375) / 2 = 1.9013671875
     • f(1.9013671875) = (1.9013671875)^5 - 10*(1.9013671875) + 3 = 0.00653076171875

     Корень между 1.900390625 и 1.9013671875.

   • 9. Итерация 9:
     • x_mid = (1.900390625 + 1.9013671875) / 2 = 1.90087890625
     • f(1.90087890625) = (1.90087890625)^5 - 10*(1.90087890625) + 3 = -0.024993896484375

     Корень между 1.90087890625 и 1.9013671875.

4. Завершение процесса:

   Продолжаем итерации, пока длина интервала не станет меньше ε = 0.05. В нашем случае, после нескольких итераций, мы увидим, что длина интервала сокращается, и мы находимся очень близко к корню.

В результате, на основании проведенных итераций, мы можем заключить, что корень уравнения x^5 - 10x + 3 = 0 на интервале (1.5, 2) находится приблизительно в районе 1.901.