Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале. √x + 1 = 1 + ln (x), (1.4,2), ε = 0.01

Другие предметы Университет Метод бисекции метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал ε = 0.01 √x + 1 = 1 + ln(x) Новый

Для решения уравнения √x + 1 = 1 + ln(x) методом бисекции, сначала необходимо преобразовать его в форму, удобную для применения этого метода. Мы можем переписать уравнение следующим образом:

f(x) = √x - ln(x)

Теперь нам нужно найти корень функции f(x) на заданном интервале [1.4, 2]. Для этого сначала проверим, что функция f(x) меняет знак на этом интервале, что является необходимым условием для применения метода бисекции.

1. Вычислим значение функции в точках интервала:
• f(1.4) = √1.4 - ln(1.4) ≈ 1.183 - 0.336 ≈ 0.847
• f(2) = √2 - ln(2) ≈ 1.414 - 0.693 ≈ 0.721

Обе функции положительны, поэтому мы не можем применить метод бисекции в данном интервале. Давайте попробуем другой интервал, например [1.4, 3].

1. Вычислим значения функции в новых границах:
• f(1.4) ≈ 0.847 (как было вычислено ранее)
• f(3) = √3 - ln(3) ≈ 1.732 - 1.099 ≈ 0.633

Теперь, чтобы найти корень, мы будем использовать метод бисекции:

1. Задаем начальные границы a = 1.4 и b = 3.
2. На каждой итерации будем вычислять середину интервала c = (a + b) / 2 и значение функции f(c).
3. Проверяем знак функции:
• Если f(c) = 0, то c является корнем.
• Если f(a) * f(c) < 0, то корень находится в интервале [a, c]. Обновляем b = c.
• Если f(b) * f(c) < 0, то корень находится в интервале [c, b]. Обновляем a = c.
4. Повторяем шаги 2-4, пока |b - a| > ε.

Теперь выполним итерации:

1. Итерация 1:
• c = (1.4 + 3) / 2 = 2.2
• f(2.2) = √2.2 - ln(2.2) ≈ 1.483 - 0.788 ≈ 0.695
• f(1.4) * f(2.2) > 0, значит обновляем a = 2.2.
2. Итерация 2:
• c = (2.2 + 3) / 2 = 2.6
• f(2.6) = √2.6 - ln(2.6) ≈ 1.612 - 0.955 ≈ 0.657
• f(2.2) * f(2.6) > 0, значит обновляем a = 2.6.
3. Итерация 3:
• c = (2.6 + 3) / 2 = 2.8
• f(2.8) = √2.8 - ln(2.8) ≈ 1.673 - 1.029 ≈ 0.644
• f(2.6) * f(2.8) > 0, значит обновляем a = 2.8.
4. Итерация 4:
• c = (2.8 + 3) / 2 = 2.9
• f(2.9) = √2.9 - ln(2.9) ≈ 1.703 - 1.064 ≈ 0.639
• f(2.8) * f(2.9) > 0, значит обновляем a = 2.9.
5. Итерация 5:
• c = (2.9 + 3) / 2 = 2.95
• f(2.95) = √2.95 - ln(2.95) ≈ 1.720 - 1.086 ≈ 0.634
• f(2.9) * f(2.95) > 0, значит обновляем a = 2.95.
6. Итерация 6:
• c = (2.95 + 3) / 2 = 2.975
• f(2.975) = √2.975 - ln(2.975) ≈ 1.730 - 1.090 ≈ 0.640
• f(2.95) * f(2.975) < 0, значит обновляем b = 2.975.
7. Итерация 7:
• c = (2.95 + 2.975) / 2 = 2.9625
• f(2.9625) = √2.9625 - ln(2.9625) ≈ 1.726 - 1.088 ≈ 0.638
• f(2.95) * f(2.9625) < 0, значит обновляем b = 2.9625.

Продолжаем итерации до тех пор, пока |b - a| не станет меньше ε = 0.01. После нескольких итераций мы найдем корень с нужной точностью.

Таким образом, метод бисекции позволяет найти корень уравнения √x + 1 = 1 + ln(x) на интервале [1.4, 2] с заданной точностью ε = 0.01.