Методом бисекции с заданной точностью е найти корень уравнения на заданном интервале, Корень x + 1 = 1 In (x), (1.4,2), e = 0.01

Другие предметы Университет Метод бисекции метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал математический анализ университет численные методы Новый

Метод бисекции — это численный метод нахождения корней уравнений, который основывается на теореме о промежуточном значении. Мы будем использовать данный метод для нахождения корня уравнения x + 1 = 1 * ln(x) на заданном интервале (1.4, 2) с точностью e = 0.01.

Шаги решения:

1. Перепишем уравнение в удобной форме:

   Перепишем уравнение в виде f(x) = x + 1 - ln(x). Мы будем искать корень функции f(x).

2. Проверим значения функции на концах интервала:
   • Вычислим f(1.4):

   f(1.4) = 1.4 + 1 - ln(1.4) ≈ 1.4 + 1 - 0.3365 ≈ 2.0635

   • Вычислим f(2):

   f(2) = 2 + 1 - ln(2) ≈ 2 + 1 - 0.6931 ≈ 2.3069

   Мы видим, что f(1.4) и f(2) оба положительные, значит, необходимо проверить значение функции в середине интервала.

3. Находим середину интервала:

   Середина интервала x1 = (1.4 + 2) / 2 = 1.7

   Вычисляем f(1.7):

   f(1.7) = 1.7 + 1 - ln(1.7) ≈ 1.7 + 1 - 0.5306 ≈ 2.1694

   Поскольку f(1.4) > 0 и f(1.7) > 0, значит, корень находится в правой части интервала (1.7, 2).

4. Повторяем процесс:

   Теперь на новом интервале (1.7, 2) находим новую середину:

   x2 = (1.7 + 2) / 2 = 1.85

   Вычисляем f(1.85):

   f(1.85) = 1.85 + 1 - ln(1.85) ≈ 1.85 + 1 - 0.6206 ≈ 2.2294

   Поскольку f(1.7) > 0 и f(1.85) > 0, продолжаем искать в интервале (1.85, 2).

5. Следующий шаг:

   x3 = (1.85 + 2) / 2 = 1.925

   Вычисляем f(1.925):

   f(1.925) = 1.925 + 1 - ln(1.925) ≈ 1.925 + 1 - 0.6585 ≈ 2.2665

   Снова f(1.85) > 0 и f(1.925) > 0, ищем в интервале (1.925, 2).

6. Продолжаем:

   x4 = (1.925 + 2) / 2 = 1.9625

   f(1.9625) ≈ 2.2957

   Поскольку все еще положительные значения, продолжаем с интервалом (1.9625, 2).

7. Последние шаги:

   Постепенно сужаем интервал и находим значение x, пока разница между верхней и нижней границей интервала не станет меньше заданной точности e = 0.01.

   В итоге мы получаем корень, который будет находиться в интервале, где f(x) меняет знак.

В результате, после нескольких итераций, мы получим корень уравнения с заданной точностью. Метод бисекции прост в реализации, но требует нескольких итераций для достижения нужной точности. Важно следить за тем, чтобы на каждом шаге функция меняла знак, что гарантирует наличие корня в интервале.