Методом бисекции с заданной точностью e найти корень уравнения на заданном интервале. x5-10x+3=0, (1.5, 2), e=0.05

Другие предметы Университет Метод бисекции метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал x5-10x+3=0 e=0.05 Новый

Для нахождения корня уравнения x^5 - 10x + 3 = 0 методом бисекции на заданном интервале (1.5, 2) с точностью e = 0.05, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Проверка наличия корня на интервале

Сначала мы должны убедиться, что в указанном интервале действительно есть корень. Для этого вычислим значения функции в границах интервала:

• f(1.5) = (1.5)^5 - 10*(1.5) + 3 = 7.59375 - 15 + 3 = -4.40625
• f(2) = (2)^5 - 10*(2) + 3 = 32 - 20 + 3 = 15

Так как f(1.5) < 0 и f(2) > 0, по теореме Больцано, в интервале (1.5, 2) существует хотя бы один корень.

Шаг 2: Применение метода бисекции

Теперь мы можем применять метод бисекции. Мы будем итеративно делить интервал пополам и проверять, на каком из подинтервалов лежит корень.

Итерация 1:

• Находим середину: c = (1.5 + 2) / 2 = 1.75
• Вычисляем f(1.75): f(1.75) = (1.75)^5 - 10*(1.75) + 3 = 7.59375 - 17.5 + 3 = -6.90625
• Так как f(1.5) < 0 и f(1.75) < 0, корень находится в интервале (1.75, 2).

Итерация 2:

• Новый интервал: (1.75, 2)
• Находим середину: c = (1.75 + 2) / 2 = 1.875
• Вычисляем f(1.875): f(1.875) = (1.875)^5 - 10*(1.875) + 3 = 10.1181640625 - 18.75 + 3 = -5.6318359375
• Так как f(1.75) < 0 и f(1.875) < 0, корень находится в интервале (1.875, 2).

Итерация 3:

• Новый интервал: (1.875, 2)
• Находим середину: c = (1.875 + 2) / 2 = 1.9375
• Вычисляем f(1.9375): f(1.9375) = (1.9375)^5 - 10*(1.9375) + 3 = 17.2303466796875 - 19.375 + 3 = 0.8553466796875
• Так как f(1.875) < 0 и f(1.9375) > 0, корень находится в интервале (1.875, 1.9375).

Итерация 4:

• Новый интервал: (1.875, 1.9375)
• Находим середину: c = (1.875 + 1.9375) / 2 = 1.90625
• Вычисляем f(1.90625): f(1.90625) = (1.90625)^5 - 10*(1.90625) + 3 = 15.4935302734375 - 19.0625 + 3 = -0.5689697265625
• Так как f(1.90625) < 0 и f(1.9375) > 0, корень находится в интервале (1.90625, 1.9375).

Итерация 5:

• Новый интервал: (1.90625, 1.9375)
• Находим середину: c = (1.90625 + 1.9375) / 2 = 1.921875
• Вычисляем f(1.921875): f(1.921875) = (1.921875)^5 - 10*(1.921875) + 3 = 16.3531036376953125 - 19.21875 + 3 = 0.1343536376953125
• Так как f(1.90625) < 0 и f(1.921875) > 0, корень находится в интервале (1.90625, 1.921875).

Итерация 6:

• Новый интервал: (1.90625, 1.921875)
• Находим середину: c = (1.90625 + 1.921875) / 2 = 1.9140625
• Вычисляем f(1.9140625): f(1.9140625) = (1.9140625)^5 - 10*(1.9140625) + 3 = 15.92626953125 - 19.140625 + 3 = -0.21435546875
• Так как f(1.9140625) < 0 и f(1.921875) > 0, корень находится в интервале (1.9140625, 1.921875).

Мы продолжаем этот процесс, пока длина интервала не станет меньше заданной точности e = 0.05. В данном случае, после нескольких итераций, мы можем остановиться, когда длина интервала меньше 0.05.

Итог:

Корень уравнения x^5 - 10x + 3 = 0 на интервале (1.5, 2) методом бисекции с заданной точностью e = 0.05 будет находиться в интервале, который мы получили после нескольких итераций. Мы можем сказать, что корень примерно равен 1.91.