Найдите частные производные функции двух переменных z = xeʸ + yeˣ

Другие предметы Университет Частные производные функций нескольких переменных частные производные функция двух переменных математический анализ университет z = xeʸ + yeˣ производные по x и y Новый

Чтобы найти частные производные функции двух переменных z = xe^y + ye^x, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте рассмотрим шаги для нахождения частных производных по переменным x и y.

1. Нахождение частной производной по x:

Частная производная функции z по переменной x обозначается как ∂z/∂x. Мы будем считать y константой и дифференцировать только по x.

• Первый член: x * e^y
  • Применяем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv', где u = x, v = e^y.
  • u' = 1 (производная x по x), v = e^y (производная e^y по x равна 0, так как y - константа).
  • Таким образом, производная первого члена: 1 * e^y + x * 0 = e^y.
• Второй член: y * e^x
  • Здесь y считается константой, и мы просто дифференцируем e^x.
  • Производная e^x по x = e^x.
  • Таким образом, производная второго члена: y * e^x.

Теперь складываем результаты:

∂z/∂x = e^y + y * e^x.

2. Нахождение частной производной по y:

Теперь найдем частную производную функции z по переменной y, обозначаемую как ∂z/∂y. Мы будем считать x константой и дифференцировать только по y.

• Первый член: x * e^y
  • Здесь x - константа, и мы дифференцируем e^y.
  • Производная e^y по y = e^y.
  • Таким образом, производная первого члена: x * e^y.
• Второй член: y * e^x
  • Здесь e^x считается константой, и мы просто дифференцируем y.
  • Производная y по y = 1.
  • Таким образом, производная второго члена: e^x.

Теперь складываем результаты:

∂z/∂y = x * e^y + e^x.

Итак, итоговые частные производные:

• ∂z/∂x = e^y + y * e^x
• ∂z/∂y = x * e^y + e^x