Найдите частные производные функции z=x²× ln y

Другие предметы Университет Частные производные функций нескольких переменных частные производные функция z=x²×ln y математика университет Новый

Чтобы найти частные производные функции z = x² * ln(y), мы будем использовать правила дифференцирования для функций нескольких переменных. В данном случае, мы будем находить частные производные по переменным x и y отдельно.

Функция z зависит от двух переменных: x и y. Мы начнем с нахождения частной производной по x.

Шаг 1: Нахождение частной производной по x

• Записываем функцию: z = x² * ln(y).
• Принимаем ln(y) как константу, так как мы дифференцируем по x.
• Используем правило дифференцирования для произведения: d(u*v)/dx = u' * v + u * v', где u = x² и v = ln(y).
• Находим производную u = x²: u' = 2x.
• Так как v = ln(y) является константой по отношению к x, v' = 0.
• Теперь подставляем в формулу: dz/dx = (2x) * ln(y) + (x²) * 0 = 2x * ln(y).

Таким образом, частная производная функции z по x равна:

dz/dx = 2x * ln(y)

Теперь переходим к нахождению частной производной по y.

Шаг 2: Нахождение частной производной по y

• Записываем функцию: z = x² * ln(y).
• Принимаем x² как константу, так как мы дифференцируем по y.
• Используем правило дифференцирования для ln(y): d(ln(y))/dy = 1/y.
• Теперь подставляем в формулу: dz/dy = x² * (1/y).

Таким образом, частная производная функции z по y равна:

dz/dy = x² / y

В итоге, мы нашли обе частные производные:

• dz/dx = 2x * ln(y)
• dz/dy = x² / y