Для решения интеграла ∫ dx / cos²(1 – 2x) 1/2 ⋅ tg(2x − 1) + C1/2 ⋅ ctg(2x − 1) + Ctg(2x − 1) + C, мы начнем с разбиения задачи на несколько шагов.

Шаг 1: Упрощение выражения

Первое, что мы заметим, это то, что в интеграле присутствует функция cos²(1 - 2x). Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для упрощения. Напомним, что:

• tg(x) = sin(x) / cos(x)
• ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Таким образом, мы можем выразить tg(2x - 1) и ctg(2x - 1) через синус и косинус.

Шаг 2: Преобразование интеграла

Интеграл можно переписать следующим образом:

∫ (1 / cos²(1 - 2x)) (1/2 * tg(2x - 1) + C1/2 * ctg(2x - 1) + Ctg(2x - 1)) dx

Теперь, используя известные производные, мы можем заметить, что производная функции tan(x) равна sec²(x). Это позволит нам использовать замену переменной для упрощения интеграла.

Шаг 3: Замена переменной

Пусть t = 1 - 2x, тогда dt = -2dx, или dx = -dt/2. Также, когда x = 0, t = 1, а когда x = 1/2, t = 0.

Теперь подставим это в наш интеграл:

∫ -1/2 * (1 / cos²(t)) (1/2 * tg((1 - t)/2) + ... ) dt

Шаг 4: Интегрирование

Теперь мы можем интегрировать. Интеграл от sec²(t) равен tan(t), и мы можем использовать это для нахождения значения интеграла.

Шаг 5: Возвращение к переменной x

После нахождения интеграла, не забудьте вернуть переменную x, используя нашу замену t = 1 - 2x.

Шаг 6: Добавление постоянной интегрирования

В конце не забудьте добавить постоянную интегрирования C.

Таким образом, итоговый ответ будет выглядеть как:

∫ dx / cos²(1 – 2x) 1/2 ⋅ tg(2x − 1) + C1/2 ⋅ ctg(2x − 1) + Ctg(2x − 1) + C = ... + C

Где "..." - это результат интегрирования, который мы получили на шаге 4.