Похожие вопросы
2025-07-19 09:46:04
Найти интеграл ∫ x²e⁻ˣdx
- (x² + 2x + 2)e⁻ˣ + C
- −(x² + 2x + 2)e⁻ˣ + C
- (x² + 2)e⁻ˣ + C
- (x² + 2x)e⁻ˣ + C
- (x² − 2x + 2)e⁻ˣ + C
Другие предметы Университет Интегралы и методы интегрирования интеграл высшая математика интегрирование университет математический анализ методы интегрирования задачи по высшей математике изучение интегралов университетские курсы математики
2025-07-19 09:46:24
Чтобы найти интеграл ∫ x² e⁻ˣ dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Давайте рассмотрим, как это сделать шаг за шагом.
Шаг 1: Выбор функций для интегрирования по частям
Согласно формуле интегрирования по частям:
∫ u dv = uv - ∫ v du
где u и dv - это функции, которые мы выбираем. В нашем случае выберем:
- u = x² (тогда du = 2x dx)
- dv = e⁻ˣ dx (тогда v = -e⁻ˣ)
Шаг 2: Применение формулы интегрирования по частям
Теперь подставим эти функции в формулу:
∫ x² e⁻ˣ dx = -x² e⁻ˣ - ∫ (-e⁻ˣ)(2x) dx
Это упрощается до:
∫ x² e⁻ˣ dx = -x² e⁻ˣ + 2 ∫ x e⁻ˣ dx
Шаг 3: Найдем второй интеграл ∫ x e⁻ˣ dx
Снова применим метод интегрирования по частям:
- u = x (тогда du = dx)
- dv = e⁻ˣ dx (тогда v = -e⁻ˣ)
Теперь подставим:
∫ x e⁻ˣ dx = -x e⁻ˣ - ∫ (-e⁻ˣ) dx
Это упрощается до:
∫ x e⁻ˣ dx = -x e⁻ˣ + ∫ e⁻ˣ dx
Интеграл ∫ e⁻ˣ dx равен -e⁻ˣ, поэтому:
∫ x e⁻ˣ dx = -x e⁻ˣ - e⁻ˣ
Шаг 4: Подставим обратно
Теперь подставим это значение обратно в наш предыдущий результат:
∫ x² e⁻ˣ dx = -x² e⁻ˣ + 2(-x e⁻ˣ - e⁻ˣ)
Это упрощается до:
∫ x² e⁻ˣ dx = -x² e⁻ˣ - 2x e⁻ˣ - 2e⁻ˣ
Шаг 5: Запишем окончательный ответ
Таким образом, окончательный ответ будет:
∫ x² e⁻ˣ dx = -(x² + 2x + 2)e⁻ˣ + C
где C - произвольная константа интегрирования.
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!