Похожие вопросы
2025-07-19 09:44:35
Найти интеграл ∫ x√(3 − 5x)dx
- (5x + 2)√(3 - 5x) + C
- (5x - 3)√(3 - 5x) + C
- 2/125 ⋅ (5x + 2)(5x - 3)√(3 - 5x) + C
- (5x + 2)(5x - 3)√(3 - 5x) + C
- (5x + 2)(5x + 3)√(3 - 5x) + C
Другие предметы Университет Интегралы и методы интегрирования интеграл высшая математика университет решение интеграла математические задачи интегрирование учебные материалы подготовка к экзаменам
2025-07-19 09:44:53
Для нахождения интеграла ∫ x√(3 − 5x)dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте разберем решение по шагам.
Шаг 1: ПодстановкаМы видим, что подкоренное выражение 3 - 5x может быть удобным для подстановки. Пусть:
u = 3 - 5x
Тогда производная u по x будет:
du/dx = -5, или dx = -1/5 du.
Шаг 2: Выражение x через uТеперь выразим x через u:
x = (3 - u)/5.
Шаг 3: Замена в интегралеТеперь подставим x и dx в интеграл:
∫ x√(3 − 5x)dx = ∫ ((3 - u)/5)√u * (-1/5) du.
Это можно упростить:
∫ x√(3 − 5x)dx = -1/25 ∫ (3 - u)√u du.
Шаг 4: Раскрытие скобокТеперь раскроем скобки:
-1/25 ∫ (3√u - u√u) du = -1/25 ∫ (3√u - u^(3/2)) du.
Шаг 5: ИнтегрированиеТеперь мы можем интегрировать каждое из слагаемых:
- ∫ 3√u du = 3 * (2/3) * u^(3/2) = 2u^(3/2),
- ∫ u^(3/2) du = (2/5) * u^(5/2).
Таким образом, мы получаем:
-1/25 [2u^(3/2) - (2/5)u^(5/2)] + C.
Шаг 6: Подстановка обратноТеперь подставим обратно u = 3 - 5x:
-1/25 [2(3 - 5x)^(3/2) - (2/5)(3 - 5x)^(5/2)] + C.
Шаг 7: УпрощениеТеперь мы можем упростить выражение, но в общем виде интеграл будет выглядеть так:
∫ x√(3 − 5x)dx = -1/25 [2(3 - 5x)^(3/2) - (2/5)(3 - 5x)^(5/2)] + C.
Это и есть ответ на ваш вопрос. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!