Найдите интеграл ∫ (5 + 2x)⁸dx

Другие предметы Университет Неопределённый интеграл математический анализ университет интеграл ∫ (5 + 2x)⁸dx решение интеграла методы интегрирования учебные материалы высшая математика Новый

Чтобы найти интеграл ∫ (5 + 2x)⁸ dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно будет выполнить:

1. Выбор подстановки:

   Мы видим, что внутри функции (5 + 2x) находится выражение, которое можно упростить с помощью подстановки. Пусть:

   u = 5 + 2x

2. Нахождение производной:

   Теперь найдем производную u по x:

   du/dx = 2

   Отсюда следует, что:

   du = 2 dx

   Это означает, что:

   dx = du/2

3. Замена переменных в интеграле:

   Теперь мы можем заменить (5 + 2x) и dx в нашем интеграле:

   Интеграл станет:

   ∫ (5 + 2x)⁸ dx = ∫ u⁸ (du/2)

   Или:

   ∫ (5 + 2x)⁸ dx = (1/2) ∫ u⁸ du

4. Вычисление интеграла:

   Теперь мы можем вычислить интеграл ∫ u⁸ du. Используем правило интегрирования степенной функции:

   ∫ u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

   В нашем случае n = 8, поэтому:

   ∫ u⁸ du = (u^(8+1))/(8+1) + C = (u⁹)/9 + C

5. Подстановка обратно:

   Теперь подставим обратно наше значение для u:

   (1/2) * (u⁹)/9 + C = (1/18) u⁹ + C

   Заменяем u на (5 + 2x):

   (1/18) (5 + 2x)⁹ + C

Ответ: Интеграл ∫ (5 + 2x)⁸ dx = (1/18) (5 + 2x)⁹ + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.