Похожие вопросы
2025-03-27 09:30:47
Найдите интеграл ∫ (5 + 2x)⁸dx
Другие предметы Университет Неопределённый интеграл математический анализ университет интеграл ∫ (5 + 2x)⁸dx решение интеграла методы интегрирования учебные материалы высшая математика
2025-03-27 09:31:00
Чтобы найти интеграл ∫ (5 + 2x)⁸ dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно будет выполнить:
- Выбор подстановки:
Мы видим, что внутри функции (5 + 2x) находится выражение, которое можно упростить с помощью подстановки. Пусть:
u = 5 + 2x
- Нахождение производной:
Теперь найдем производную u по x:
du/dx = 2
Отсюда следует, что:
du = 2 dx
Это означает, что:
dx = du/2
- Замена переменных в интеграле:
Теперь мы можем заменить (5 + 2x) и dx в нашем интеграле:
Интеграл станет:
∫ (5 + 2x)⁸ dx = ∫ u⁸ (du/2)
Или:
∫ (5 + 2x)⁸ dx = (1/2) ∫ u⁸ du
- Вычисление интеграла:
Теперь мы можем вычислить интеграл ∫ u⁸ du. Используем правило интегрирования степенной функции:
∫ u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.
В нашем случае n = 8, поэтому:
∫ u⁸ du = (u^(8+1))/(8+1) + C = (u⁹)/9 + C
- Подстановка обратно:
Теперь подставим обратно наше значение для u:
(1/2) * (u⁹)/9 + C = (1/18) u⁹ + C
Заменяем u на (5 + 2x):
(1/18) (5 + 2x)⁹ + C
Ответ: Интеграл ∫ (5 + 2x)⁸ dx = (1/18) (5 + 2x)⁹ + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.
