Найдите интеграл ∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx

Другие предметы Университет Неопределённый интеграл математический анализ интеграл неопределенный интеграл решение интеграла интеграл от дроби интегралы в университете методы интегрирования учебник по математическому анализу Новый

Для нахождения интеграла ∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx, мы можем разделить интеграл на две части, чтобы упростить его решение. Давайте рассмотрим это пошагово.

1. Разделим интеграл: Мы можем записать интеграл в следующем виде:
• ∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx = ∫ (x / (x² + 9))dx + ∫ (9 / (x² + 9))dx
2. Решим первый интеграл: Для интеграла ∫ (x / (x² + 9))dx мы можем использовать замену переменной. Пусть u = x² + 9. Тогда du = 2x dx, или dx = du / (2x). Подставляем это в интеграл:
• ∫ (x / (x² + 9))dx = (1/2) ∫ (1/u) du = (1/2) ln|u| + C = (1/2) ln|x² + 9| + C.
3. Решим второй интеграл: Для интеграла ∫ (9 / (x² + 9))dx мы можем вынести 9 за знак интеграла:
• ∫ (9 / (x² + 9))dx = 9 ∫ (1 / (x² + 9))dx.
4. Интеграл ∫ (1 / (x² + 9))dx имеет известное решение. Мы знаем, что ∫ (1 / (a² + x²))dx = (1/a) arctan(x/a) + C. В нашем случае a = 3, так как 9 = 3².
• Таким образом, ∫ (1 / (x² + 9))dx = (1/3) arctan(x/3) + C.
5. Подставим это значение обратно: Теперь подставим найденный интеграл в выражение:
• 9 ∫ (1 / (x² + 9))dx = 9 * (1/3) arctan(x/3) = 3 arctan(x/3).
6. Соберем все части вместе: Теперь мы можем объединить результаты:
• ∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx = (1/2) ln|x² + 9| + 3 arctan(x/3) + C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx = (1/2) ln|x² + 9| + 3 arctan(x/3) + C.