Найдите ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx

Другие предметы Университет Неопределённый интеграл математический анализ университет интегралы неопределенный интеграл вычисление интегралов методы интегрирования Новый

Для нахождения интеграла ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx мы можем разложить интеграл на две части, чтобы упростить его вычисление. Начнем с разбиения интеграла:

• ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx = ∫ (x / (x² + 1))dx + ∫ (1 / (x² + 1))dx

Теперь у нас есть два отдельных интеграла, которые мы можем вычислить по отдельности.

1. Первый интеграл: ∫ (x / (x² + 1))dx

Для этого интеграла мы можем использовать замену. Пусть u = x² + 1. Тогда du/dx = 2x, или dx = du/(2x). Подставляя это в интеграл, получаем:

• ∫ (x / (x² + 1))dx = ∫ (x / u) * (du/(2x)) = (1/2) ∫ (1/u) du

Теперь интегрируем:

• (1/2) ∫ (1/u) du = (1/2) ln|u| + C = (1/2) ln|x² + 1| + C
2. Второй интеграл: ∫ (1 / (x² + 1))dx

Этот интеграл известен, и его результат равен:

• ∫ (1 / (x² + 1))dx = arctan(x) + C

Теперь мы можем объединить оба результата:

• ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx = (1/2) ln|x² + 1| + arctan(x) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx = (1/2) ln|x² + 1| + arctan(x) + C