Похожие вопросы
2025-09-04 17:48:50
Найдите ∫ lnxdx / x
- 1/2 ⋅ ln²x + C
- −1/2 ⋅ ln²x + C
- 1/2 ⋅ lnx + C
Другие предметы Университет Интегралы и неопределенные интегралы высшая математика интегралы ln x университет математический анализ вычисление интегралов учебные материалы студенты подготовка к экзаменам математические функции
2025-09-04 17:49:04
Для решения интеграла ∫ ln(x) / x dx, давайте сначала упростим его и разберёмся с методом интегрирования. Мы видим, что подынтегральная функция ln(x) / x может быть решена с помощью метода интегрирования по частям.
Шаг 1: Подбор функций для интегрирования по частям
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
∫ u dv = uv - ∫ v du
В нашем случае выберем:
- u = ln(x) (тогда du = (1/x) dx)
- dv = (1/x) dx (тогда v = ln(x))
Шаг 2: Применение формулы интегрирования по частям
Теперь подставим выбранные функции в формулу:
∫ ln(x) / x dx = ln(x) * ln(x) - ∫ ln(x) * (1/x) dx
Это можно записать как:
∫ ln(x) / x dx = ln²(x) / 2 - ∫ ln(x) / x dx
Шаг 3: Решим уравнение
Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить:
∫ ln(x) / x dx = ln²(x) / 2 - ∫ ln(x) / x dx
Соберем все интегралы в одну сторону:
2 ∫ ln(x) / x dx = ln²(x) / 2
Теперь делим обе стороны на 2:
∫ ln(x) / x dx = ln²(x) / 4 + C, где C - произвольная константа интегрирования.
Шаг 4: Подведение итогов
Итак, мы нашли, что:
∫ ln(x) / x dx = ln²(x) / 4 + C
Теперь, если мы посмотрим на выражение, которое вы привели в вопросе, оно выглядит как:
1/2 * ln²(x) + C - 1/2 * ln²(x) + C + 1/2 * ln(x) + C
Мы можем упростить это выражение:
- 1/2 * ln²(x) - 1/2 * ln²(x) = 0
- Таким образом, остается: C + 1/2 * ln(x) + C
Это означает, что конечный результат будет зависеть от констант интегрирования, добавленных к результату интегрирования.
В заключение, итоговое значение интеграла ∫ ln(x) / x dx равно ln²(x) / 4 + C.