Похожие вопросы
2025-09-04 17:45:34
Найдите ∫ √(x)dx / (x + 1)
- 2(√x − arctg√x) + C
- √x − arctg√x + C
- 1/2 ⋅ (√x − arctg√x) + C
Другие предметы Университет Интегралы и неопределенные интегралы высшая математика интегралы университет решение интеграла математический анализ учебные материалы подготовка к экзаменам курсы высшей математики
2025-09-04 17:45:43
Для решения интеграла ∫ √(x) dx / (x + 1) необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем его подробнее.
Шаг 1: ПодстановкаДля упрощения интеграла, мы можем использовать подстановку. Пусть:
- u = √x,
- Тогда x = u²,
- dx = 2u du.
Теперь мы можем переписать интеграл в терминах u:
∫ √(x) dx / (x + 1) = ∫ u (2u du) / (u² + 1) = 2 ∫ (u²) du / (u² + 1).
Шаг 2: Разделение интегралаИнтеграл можно разделить на две части:
2 ∫ (u²) du / (u² + 1) = 2 ∫ (1 - 1/(u² + 1)) du.
Теперь мы можем рассмотреть каждый из этих интегралов отдельно:
- Первый интеграл: ∫ du = u.
- Второй интеграл: ∫ 1/(u² + 1) du = arctg(u).
Теперь подставим результаты обратно в интеграл:
2 (u - arctg(u)) + C,
где C - произвольная постоянная интегрирования.
Теперь возвращаемся к переменной x, подставляя u = √x:
2 (√x - arctg(√x)) + C.
Шаг 4: Запись окончательного ответаТаким образом, окончательный ответ на интеграл будет:
∫ √(x) dx / (x + 1) = 2(√x - arctg(√x)) + C.
Пожалуйста, проверьте каждый шаг, чтобы убедиться, что вы понимаете процесс интегрирования и подстановки.