Чтобы найти наименьшее значение функции y = 11x - ln(x + 15) на отрезке [-14.5; 0], мы будем следовать нескольким шагам:

1. Определим область определения функции.
• Функция y = 11x - ln(x + 15) определена, когда аргумент логарифма больше нуля, то есть x + 15 > 0.
• Это условие выполняется, когда x > -15.
• Таким образом, область определения функции на заданном отрезке [-14.5; 0] соответствует условию и включает все значения x в этом отрезке.
2. Найдём производную функции.
• Производная функции y по x: y' = 11 - (1/(x + 15)).
3. Найдем критические точки.
• Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю: 11 - (1/(x + 15)) = 0.
• Решим уравнение: 11 = 1/(x + 15).
• Перепишем уравнение: x + 15 = 1/11.
• Отсюда, x = 1/11 - 15 = 1/11 - 165/11 = -164/11 ≈ -14.909.
• Эта критическая точка находится в пределах нашего отрезка [-14.5; 0].
4. Вычислим значения функции в критической точке и на границах отрезка.
• Подставим x = -14.5: y(-14.5) = 11*(-14.5) - ln(-14.5 + 15) = -159.5 - ln(0.5).
• Подставим x = 0: y(0) = 11*0 - ln(0 + 15) = -ln(15).
• Подставим x = -164/11: y(-164/11) = 11*(-164/11) - ln(-164/11 + 15) = -164 - ln(1/11) = -164 + ln(11).
5. Сравним полученные значения.
• Теперь нужно сравнить значения y(-14.5), y(0) и y(-164/11).
• y(-14.5) = -159.5 - ln(0.5),
• y(0) = -ln(15),
• y(-164/11) = -164 + ln(11).
6. Определим наименьшее значение.
• Сравнивая значения, мы видим, что -164 + ln(11) будет меньше -159.5 - ln(0.5) и -ln(15).
• Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке [-14.5; 0] достигается в критической точке x = -164/11.

Ответ: Наименьшее значение функции y = 11x - ln(x + 15) на отрезке [-14.5; 0] равно -164 + ln(11).