Найдите общее решение уравнения y'' + 2y' - 3y = 0

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ решение уравнения Дифференциальные уравнения университет y'' + 2y' - 3y = 0 общее решение методы решения математические методы Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы начнем с его характеристического уравнения. Уравнение имеет вид:

y'' + 2y' - 3y = 0

Шаг 1: Запишем характеристическое уравнение, которое получается, если заменить y на e^(rt), где r - корень, который мы ищем:

r^2 + 2r - 3 = 0

Шаг 2: Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

• a = 1
• b = 2
• c = -3

Подставляем значения:

D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Шаг 3: Найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

r1,2 = (-b ± √D) / 2a

Подставим наши значения:

r1,2 = (-2 ± √16) / 2 * 1

r1 = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1

r2 = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3

Шаг 4: Теперь, когда мы нашли корни, мы можем записать общее решение дифференциального уравнения. Поскольку у нас два различных корня, общее решение будет иметь вид:

y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные. Подставляем найденные корни:

y(t) = C1 * e^(1 * t) + C2 * e^(-3 * t)

Шаг 5: Упрощаем окончательное решение:

y(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-3t)

Таким образом, общее решение уравнения y'' + 2y' - 3y = 0 имеет вид:

y(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-3t)