Общим решение уравнения y''+y'-2y=0 является

• C₁ex+C₂e-3x
• C₁e-x+C₂ex
• C₁e-5x+C₂e2x
• C₁e-2x+C₂ex

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ университет решение уравнения Дифференциальные уравнения методы решения характеристическое уравнение Новый

Чтобы найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как:

y'' + y' - 2y = 0,

мы используем характеристическое уравнение. Давайте разберем шаги решения:

1. Составление характеристического уравнения:

Для уравнения y'' + y' - 2y = 0 характеристическое уравнение имеет вид:

r^2 + r - 2 = 0.

2. Решение характеристического уравнения:

Решим квадратное уравнение r^2 + r - 2 = 0. Для этого найдем корни, используя дискриминант:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.

Корни уравнения находятся по формуле:

r = (-b ± √D) / 2a.

Подставим значения: r = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Получаем два корня: r1 = 1 и r2 = -2.

3. Запись общего решения:

Поскольку у нас есть два различных вещественных корня r1 и r2, общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x).

Подставим найденные корни: y(x) = C1 * e^(1 * x) + C2 * e^(-2 * x).

Или, более просто: y(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-2x).

Таким образом, общее решение уравнения y'' + y' - 2y = 0 — это:

y(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-2x).