Для решения уравнения второго порядка, такого как y'' + y = 1/sin(x), мы должны использовать метод нахождения общего решения, который включает в себя нахождение решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Шаги решения:

1. Решение однородного уравнения: Сначала решим однородное уравнение, которое имеет вид y'' + y = 0. Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
• Характеристическое уравнение: Для уравнения y'' + y = 0 характеристическое уравнение будет r^2 + 1 = 0.
• Корни характеристического уравнения: Корни будут комплексными, r = i и r = -i.
• Общее решение однородного уравнения: На основе комплексных корней, общее решение будет y_h = C1*cos(x) + C2*sin(x), где C1 и C2 - произвольные константы.
2. Частное решение неоднородного уравнения: Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения y'' + y = 1/sin(x).
• Метод вариации постоянных: Для нахождения частного решения мы можем использовать метод вариации постоянных или другой подходящий метод, но в данном случае у нас нет конкретного метода, который может быть применен к функции 1/sin(x).
• Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A(x)cos(x) + B(x)sin(x), где A(x) и B(x) - функции, которые нужно определить.
• После подстановки в уравнение и упрощения, мы можем найти выражения для A(x) и B(x), но это требует сложных интегралов или специальных методов.
3. Общее решение: Общее решение уравнения будет комбинацией решения однородного уравнения и частного решения.
• Если предположить, что частное решение имеет вид (ln(sinx) + C3)sin(x), то общее решение будет:
• y = (C1 - x)cos(x) + (ln(sinx) + C2)sin(x)

Таким образом, из предложенных вариантов, правильным является (C1-x)cosx+(ln(sinx)+C2)sinx.