Общее решение уравнения y''-4y=0 имеет вид …

• y = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ
• y = c₁e²ˣ
• y = c₁e⁻³ˣ

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка математика университет общее решение уравнения Дифференциальные уравнения метод решения уравнений c₁e²ˣ c₂e⁻²ˣ Новый

Рассмотрим общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка:

y'' - 4y = 0

Это уравнение можно решить, используя метод характеристического уравнения. Для этого мы предположим, что решение имеет вид:

y = e^(rx)

где r - это некоторое постоянное число. Подставим это предположение в уравнение:

1. Находим первую и вторую производные:
• y' = r * e^(rx)
• y'' = r² * e^(rx)
2. Подставляем в уравнение:

r² * e^(rx) - 4 * e^(rx) = 0

3. Вынесем e^(rx) за скобки:

e^(rx) * (r² - 4) = 0

4. Поскольку e^(rx) никогда не равно нулю, то получаем характеристическое уравнение:

r² - 4 = 0

5. Решаем это уравнение:

r² = 4

r = ±2

Таким образом, у нас есть два корня: r₁ = 2 и r₂ = -2.

Общее решение данного уравнения будет иметь вид:

y = c₁ * e^(2x) + c₂ * e^(-2x)

где c₁ и c₂ - произвольные постоянные (константы), определяемые начальными условиями.

Теперь сравним с предложенными вариантами:

• y = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ - это правильный ответ.
• y = c₁e²ˣ - это частное решение, не учитывающее второй корень.
• y = c₁e⁻³ˣ - это неверное решение, так как корни уравнения не равны -3.

Таким образом, общее решение уравнения y'' - 4y = 0 имеет вид: y = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ.