Найдите общее решение уравнения y'' - 9y = e²ˣ

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ общее решение уравнение y'' 9y e²ˣ университет Дифференциальные уравнения Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Однородное уравнение имеет вид:

y'' - 9y = 0

Для решения этого уравнения мы ищем решение в виде y = e^(rx), где r - это параметр, который мы должны определить. Подставим это выражение в уравнение:

(r^2)e^(rx) - 9e^(rx) = 0

Факторизуем e^(rx):

e^(rx)(r^2 - 9) = 0

Так как e^(rx) не равно нулю, мы получаем характеристическое уравнение:

r^2 - 9 = 0

Решим это уравнение:

• r^2 = 9
• r = ±3

Таким образом, корни характеристического уравнения: r1 = 3 и r2 = -3.

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Решение неоднородного уравнения

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения:

y'' - 9y = e^(2x).

Для этого мы используем метод неопределенных коэффициентов. Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = Ae^(2x),

где A - это константа, которую мы должны определить.

Теперь найдем производные:

• y_p' = 2Ae^(2x),
• y_p'' = 4Ae^(2x).

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

4Ae^(2x) - 9(Ae^(2x)) = e^(2x).

Упростим уравнение:

(4A - 9A)e^(2x) = e^(2x).

Это дает:

-5Ae^(2x) = e^(2x).

Чтобы это уравнение было верным для всех x, коэффициенты перед e^(2x) должны быть равны:

-5A = 1.

Отсюда находим A:

A = -1/5.

Таким образом, частное решение будет:

y_p = -1/5 * e^(2x).

Шаг 3: Общее решение

Теперь мы можем записать общее решение исходного неоднородного уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения:

y(x) = y_h + y_p.

Подставим найденные решения:

y(x) = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x) - 1/5 * e^(2x).

Таким образом, общее решение уравнения y'' - 9y = e^(2x) имеет вид:

y(x) = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x) - 1/5 * e^(2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.