Похожие вопросы
2025-03-26 22:28:38
Найдите общее решение уравнения y'' + 2y' = 5e³ˣ
- y = C₁ + C₂e⁻²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ
- y = C₁ + C₂e⁻²ˣ + 5e³ˣ
- y = C₁x + C₂e⁻²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ
- y = C₁ + C₂e²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика общее решение уравнения университет Дифференциальные уравнения метод решения математический анализ решение задачи математические методы университетская программа изучение математики
2025-03-26 22:28:49
Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.
1. **Решение однородного уравнения**:
Рассмотрим однородное уравнение:
y'' + 2y' = 0
Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:
r² + 2r = 0
Факторизуем его:
r(r + 2) = 0
Таким образом, корни характеристического уравнения:
- r₁ = 0
- r₂ = -2
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_h = C₁ + C₂e^(-2x),
где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.
2. **Поиск частного решения**:
Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения:
y'' + 2y' = 5e^(3x).
Для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения имеет вид 5e^(3x), мы предполагаем, что частное решение будет иметь вид:
y_p = Ae^(3x),
где A - постоянная, которую мы определим.
Теперь найдем производные:
- y_p' = 3Ae^(3x),
- y_p'' = 9Ae^(3x).
Подставим y_p, y_p' и y_p'' в неоднородное уравнение:
9Ae^(3x) + 2(3Ae^(3x)) = 5e^(3x).
Упрощаем:
9Ae^(3x) + 6Ae^(3x) = 5e^(3x),
15Ae^(3x) = 5e^(3x).
Теперь приравняем коэффициенты:
15A = 5.
Отсюда находим A:
A = 5/15 = 1/3.
Таким образом, частное решение имеет вид:
y_p = (1/3)e^(3x).
3. **Общее решение уравнения**:
Теперь мы можем записать общее решение исходного уравнения, складывая общее решение однородного уравнения и частное решение:
y = y_h + y_p = C₁ + C₂e^(-2x) + (1/3)e^(3x).
Таким образом, общее решение уравнения:
y = C₁ + C₂e^(-2x) + (1/3)e^(3x).
