Найдите общее решение уравнения y'' + 2y' = 5e³ˣ

1. y = C₁ + C₂e⁻²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ
2. y = C₁ + C₂e⁻²ˣ + 5e³ˣ
3. y = C₁x + C₂e⁻²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ
4. y = C₁ + C₂e²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика общее решение уравнения университет Дифференциальные уравнения метод решения математический анализ решение задачи математические методы университетская программа изучение математики Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

1. **Решение однородного уравнения**:

Рассмотрим однородное уравнение:

y'' + 2y' = 0

Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:

r² + 2r = 0

Факторизуем его:

r(r + 2) = 0

Таким образом, корни характеристического уравнения:

• r₁ = 0
• r₂ = -2

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C₁ + C₂e^(-2x),

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

2. **Поиск частного решения**:

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения:

y'' + 2y' = 5e^(3x).

Для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения имеет вид 5e^(3x), мы предполагаем, что частное решение будет иметь вид:

y_p = Ae^(3x),

где A - постоянная, которую мы определим.

Теперь найдем производные:

• y_p' = 3Ae^(3x),
• y_p'' = 9Ae^(3x).

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в неоднородное уравнение:

9Ae^(3x) + 2(3Ae^(3x)) = 5e^(3x).

Упрощаем:

9Ae^(3x) + 6Ae^(3x) = 5e^(3x),

15Ae^(3x) = 5e^(3x).

Теперь приравняем коэффициенты:

15A = 5.

Отсюда находим A:

A = 5/15 = 1/3.

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p = (1/3)e^(3x).

3. **Общее решение уравнения**:

Теперь мы можем записать общее решение исходного уравнения, складывая общее решение однородного уравнения и частное решение:

y = y_h + y_p = C₁ + C₂e^(-2x) + (1/3)e^(3x).

Таким образом, общее решение уравнения:

y = C₁ + C₂e^(-2x) + (1/3)e^(3x).