Найдите общее решение уравнения y'' - 4y' + 3y = 0

• 1) y = C₁e³ˣ + C₂e⁻ˣ
• 2) y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ
• 3) y = C₁eˣ + C₂e³ˣ

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика общее решение уравнения Дифференциальные уравнения университет математические методы решение задач теория уравнений математический анализ Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, сначала найдем характеристическое уравнение, связанное с данным уравнением:

Шаг 1: Запись характеристического уравнения

Уравнение имеет вид:

y'' - 4y' + 3y = 0

Чтобы найти характеристическое уравнение, мы заменим y'' на r², y' на r и y на 1:

r² - 4r + 3 = 0

Шаг 2: Решение характеристического уравнения

Теперь мы решим это квадратное уравнение. Для этого можем воспользоваться формулой корней:

r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4, c = 3.

Подставляем значения:

• b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
• Таким образом, корни будут:
• r = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2

Это дает два корня:

• r₁ = (4 + 2) / 2 = 3
• r₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Шаг 3: Запись общего решения

Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)

Подставляя найденные корни, получаем:

y = C₁e^(3x) + C₂e^(1x)

Шаг 4: Выбор правильного варианта ответа

Таким образом, общее решение можно записать как:

y = C₁e^(3x) + C₂e^(x)

Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ:

2) y = C₁eˣ + C₂e³ˣ