Похожие вопросы
2025-03-29 20:13:36
Найдите общее решение уравнения y'' - 4y' + 3y = 0
- 1) y = C₁e³ˣ + C₂e⁻ˣ
- 2) y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ
- 3) y = C₁eˣ + C₂e³ˣ
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика общее решение уравнения Дифференциальные уравнения университет математические методы решение задач теория уравнений математический анализ
2025-03-29 20:13:47
Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, сначала найдем характеристическое уравнение, связанное с данным уравнением:
Шаг 1: Запись характеристического уравнения
Уравнение имеет вид:
y'' - 4y' + 3y = 0
Чтобы найти характеристическое уравнение, мы заменим y'' на r², y' на r и y на 1:
r² - 4r + 3 = 0
Шаг 2: Решение характеристического уравнения
Теперь мы решим это квадратное уравнение. Для этого можем воспользоваться формулой корней:
r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4, c = 3.
Подставляем значения:
- b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
- Таким образом, корни будут:
- r = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2
Это дает два корня:
- r₁ = (4 + 2) / 2 = 3
- r₂ = (4 - 2) / 2 = 1
Шаг 3: Запись общего решения
Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
Подставляя найденные корни, получаем:
y = C₁e^(3x) + C₂e^(1x)
Шаг 4: Выбор правильного варианта ответа
Таким образом, общее решение можно записать как:
y = C₁e^(3x) + C₂e^(x)
Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ:
2) y = C₁eˣ + C₂e³ˣ
