Найдите общее решение уравнения y'' - 9y = e²ˣ

• 1) y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ - 1/5 ⋅ e²ˣ
• 2) y = C₁e³ˣ + C₂ - 1/2 ⋅ e²ˣ
• 3) y = e³ˣ(C₁ + C₂x) - 1/2 ⋅ e²ˣ
• 4) y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ + e²ˣ

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика университет общее решение уравнение Дифференциальные уравнения математический анализ C1 C2 e²ˣ y'' y решение уравнений методы решения математические методы теория дифференциальных уравнений Новый

Чтобы найти общее решение уравнения второго порядка y'' - 9y = e²ˣ, необходимо сначала решить однородное уравнение, а затем найти частное решение для неоднородной части.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Однородное уравнение имеет вид:

y'' - 9y = 0

Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид:

r² - 9 = 0

Решая это уравнение, получаем:

• r₁ = 3
• r₂ = -3

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

y₀ = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ

, где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Шаг 2: Поиск частного решения

Теперь нужно найти частное решение для неоднородного уравнения y'' - 9y = e²ˣ. Мы будем использовать метод неопределенных коэффициентов. Предположим, что частное решение имеет вид:

yₚ = Ae²ˣ

, где A - постоянная, которую мы должны определить.

Теперь найдем производные:

• yₚ' = 2Ae²ˣ
• yₚ'' = 4Ae²ˣ

Подставим yₚ, yₚ' и yₚ'' в уравнение:

4Ae²ˣ - 9(Ae²ˣ) = e²ˣ

Упрощая это, получаем:

(4A - 9A)e²ˣ = e²ˣ

или

-5Ae²ˣ = e²ˣ

Теперь приравняем коэффициенты:

-5A = 1

A = -1/5

Таким образом, частное решение будет:

yₚ = -1/5 * e²ˣ

Шаг 3: Общее решение

Теперь можем записать общее решение уравнения:

y = y₀ + yₚ = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ - 1/5 * e²ˣ

Шаг 4: Сравнение с предложенными вариантами

Теперь сравним полученное общее решение с предложенными вариантами:

1. y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ - 1/5 * e²ˣ (это наш ответ)
2. y = C₁e³ˣ + C₂ - 1/2 * e²ˣ (неправильно)
3. y = e³ˣ(C₁ + C₂x) - 1/2 * e²ˣ (неправильно)
4. y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ + e²ˣ (неправильно)

Ответ: Общее решение уравнения y'' - 9y = e²ˣ: y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ - 1/5 * e²ˣ.