Найдите общее решение уравнения y'' − 9y = e²ˣ

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ общее решение уравнение y'' 9y e²ˣ университет Дифференциальные уравнения методы решения Новый

Чтобы найти общее решение уравнения второго порядка y'' - 9y = e^(2x), мы будем использовать метод решения неоднородных дифференциальных уравнений. Этот метод состоит из двух основных шагов: сначала мы находим общее решение однородного уравнения, а затем находим частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Сначала рассмотрим однородное уравнение:

y'' - 9y = 0

Для решения этого уравнения мы ищем решения в виде y = e^(rx), где r - некоторое число. Подставляем это в однородное уравнение:

r²e^(rx) - 9e^(rx) = 0

Выносим e^(rx) за скобки (так как e^(rx) не равно нулю):

r² - 9 = 0

Теперь решаем характеристическое уравнение:

r² - 9 = 0

Это уравнение можно разложить на множители:

(r - 3)(r + 3) = 0

Таким образом, мы получаем два корня:

• r₁ = 3
• r₂ = -3

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C₁e^(3x) + C₂e^(-3x),

где C₁ и C₂ - произвольные константы.

Шаг 2: Найти частное решение неоднородного уравнения

Теперь мы ищем частное решение y_p для неоднородного уравнения:

y'' - 9y = e^(2x).

В данном случае, поскольку правая часть уравнения является экспоненциальной функцией e^(2x), мы можем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p = Ae^(2x),

где A - некоторая константа, которую мы должны определить.

Теперь вычислим производные:

• y_p' = 2Ae^(2x)
• y_p'' = 4Ae^(2x)

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в неоднородное уравнение:

4Ae^(2x) - 9(Ae^(2x)) = e^(2x).

Упростим это уравнение:

(4A - 9A)e^(2x) = e^(2x).

Это приводит к:

-5Ae^(2x) = e^(2x).

Теперь приравняем коэффициенты:

-5A = 1.

Отсюда находим A:

A = -1/5.

Таким образом, частное решение будет:

y_p = -1/5 e^(2x).

Шаг 3: Общее решение

Теперь можем записать общее решение исходного неоднородного уравнения, которое будет равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = y_h + y_p = C₁e^(3x) + C₂e^(-3x) - (1/5)e^(2x).

Таким образом, общее решение уравнения y'' - 9y = e^(2x) имеет вид:

y = C₁e^(3x) + C₂e^(-3x) - (1/5)e^(2x).