Похожие вопросы
2025-09-04 17:57:24
Найдите общее решение уравнения y'' − 9y = e²ˣ
- y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ - 1/5 ⋅ e²ˣ
- y = C₁e³ˣ + C₂ - 1/2 ⋅ e²ˣ
- y = e³ˣ(C₁ + C₂x) - 1/2 ⋅ e²ˣ
- y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ + e²ˣ
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика общее решение уравнение y'' университет Дифференциальные уравнения математический анализ метод решения математические модели студенты учебный процесс
2025-09-04 17:58:12
Для решения уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' - 9y = e²ˣ, мы будем использовать метод вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.
Шаг 1: Решение однородного уравненияОднородное уравнение имеет вид:
y'' - 9y = 0.
Характеристическое уравнение будет:
r² - 9 = 0.
Решив его, получаем:
- r₁ = 3,
- r₂ = -3.
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
y₀ = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ,
где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.
Шаг 2: Поиск частного решенияТеперь найдем частное решение для неоднородного уравнения y'' - 9y = e²ˣ. Для этого мы можем использовать метод неопределенных коэффициентов.
Поскольку правая часть уравнения e²ˣ имеет вид экспоненциальной функции, мы предполагаем, что частное решение имеет вид:
yₚ = Ae²ˣ,
где A - некоторая константа, которую мы определим.
Шаг 3: Подстановка частного решенияТеперь найдем производные частного решения:
- yₚ' = 2Ae²ˣ,
- yₚ'' = 4Ae²ˣ.
Подставим yₚ, yₚ' и yₚ'' в уравнение:
4Ae²ˣ - 9(Ae²ˣ) = e²ˣ.
Упрощаем:
(4A - 9A)e²ˣ = e²ˣ.
Это приводит к:
-5Ae²ˣ = e²ˣ.
Теперь делим обе стороны на e²ˣ (при условии, что e²ˣ не равно нулю):
-5A = 1.
Отсюда:
A = -1/5.
Шаг 4: Общее решениеТеперь мы можем записать общее решение для данного уравнения:
y = y₀ + yₚ = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ - 1/5e²ˣ.
Итак, общее решение уравнения:y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ - 1/5e²ˣ.
Это и есть конечный ответ для общего решения данного дифференциального уравнения.