Найдите общее решение уравнения y′′ = cos x

1. y = −cosx + Cx + C₁
2. y = −sinx + Cx + C₁
3. y = cosx + Cx + C₁

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика университет общее решение уравнение y'' cos x cx C1 математический анализ Дифференциальные уравнения Новый

Для решения данного уравнения начнем с анализа его структуры. У нас есть второе производное y, равное косинусу x. Это дифференциальное уравнение второго порядка можно решить, найдя общее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения.

Сначала запишем однородную часть уравнения:

y'' = 0

Решение этого уравнения имеет вид:

y_h = C₁ + C₂x

где C₁ и C₂ — произвольные константы.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Теперь нам нужно найти частное решение для уравнения:

y'' = cos(x)

Мы можем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p = A * cos(x) + B * sin(x)

где A и B — константы, которые мы определим.

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = -A * sin(x) + B * cos(x)
• y_p'' = -A * cos(x) - B * sin(x)

Подставим y_p'' в уравнение:

-A * cos(x) - B * sin(x) = cos(x)

Сравнивая коэффициенты, получаем:

• -A = 1, следовательно, A = -1
• -B = 0, следовательно, B = 0

Таким образом, частное решение будет:

y_p = -cos(x)

Шаг 3: Запишем общее решение.

Теперь, когда у нас есть общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения, мы можем записать общее решение:

y = y_h + y_p = C₁ + C₂x - cos(x)

Шаг 4: Итоговое решение.

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

y = C₁ + C₂x - cos(x)

где C₁ и C₂ — произвольные константы, определяемые начальными условиями, если они заданы.