Похожие вопросы
2025-09-04 17:56:41
Найдите общее решение уравнения y'' – y = 0
- y = C1e-x + C2ex
- y = C1ex + C2ex
- y = Cex + C1e-x
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика уравнение y'' решение уравнения университет математический анализ Дифференциальные уравнения общие решения математические методы C1 C2 экспоненциальная функция
2025-09-04 17:56:50
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:
y'' - y = 0
Это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения мы будем использовать метод характеристического уравнения.
Шаг 1: Запишем характеристическое уравнение.
Сначала заменим y на e^(rx), где r - это корень, который мы будем искать. Тогда производные y'' и y будут равны:
- y = e^(rx)
- y' = r * e^(rx)
- y'' = r² * e^(rx)
Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
r² * e^(rx) - e^(rx) = 0
Факторизуем e^(rx):
e^(rx) * (r² - 1) = 0
Так как e^(rx) не равно нулю для всех x, мы можем упростить уравнение до:
r² - 1 = 0
Шаг 2: Найдем корни характеристического уравнения.
Решим уравнение:
- r² = 1
- r = ±1
Таким образом, у нас есть два различных корня: r1 = 1 и r2 = -1.
Шаг 3: Запишем общее решение.
Общее решение уравнения второго порядка с двумя различными корнями имеет вид:
y(x) = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x)
Подставим найденные корни:
y(x) = C1 * e^(1 * x) + C2 * e^(-1 * x)
Или, упростив:
y(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-x)
Где C1 и C2 - произвольные константы, которые определяются начальными условиями.
Таким образом, общее решение уравнения y'' - y = 0 имеет вид:
y(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-x)