Для нахождения первообразной функции f(x) = 15 / 4∜x + 5∜(x³) + C∜(x³) + C5∜(x⁵) + C, нам нужно разбить эту функцию на отдельные слагаемые и найти первообразные для каждого из них.

Сначала давайте упростим выражение. Мы знаем, что:

• ∜x = x^(1/4)
• ∜(x³) = (x³)^(1/4) = x^(3/4)
• ∜(x⁵) = (x⁵)^(1/4) = x^(5/4)

Теперь перепишем функцию f(x) в более удобной форме:

f(x) = 15 / 4 * x^(1/4) + 5 * x^(3/4) + C * x^(3/4) + C * 5 * x^(5/4) + C

Теперь можно объединить подобные слагаемые:

f(x) = 15 / 4 * x^(1/4) + (5 + C) * x^(3/4) + C * 5 * x^(5/4) + C

Теперь найдем первообразные для каждого слагаемого:

1. Для первого слагаемого 15 / 4 * x^(1/4):

Первообразная будет равна:

(15 / 4) * (x^(1/4 + 1) / (1/4 + 1)) = (15 / 4) * (x^(5/4) / (5/4)) = (15 / 4) * (4/5) * x^(5/4) = 3 x^(5/4)

2. Для второго слагаемого (5 + C) * x^(3/4):

Первообразная будет равна:

(5 + C) * (x^(3/4 + 1) / (3/4 + 1)) = (5 + C) * (x^(7/4) / (7/4)) = (5 + C) * (4/7) * x^(7/4) = (4/7)(5 + C) x^(7/4)

3. Для третьего слагаемого C * 5 * x^(5/4):

Первообразная будет равна:

C * 5 * (x^(5/4 + 1) / (5/4 + 1)) = C * 5 * (x^(9/4) / (9/4)) = C * 5 * (4/9) * x^(9/4) = (20/9) C x^(9/4)

4. Для последнего слагаемого C:

Первообразная будет равна:

C * x (где x - переменная интегрирования)

Теперь объединим все найденные первообразные:

F(x) = 3 x^(5/4) + (4/7)(5 + C) x^(7/4) + (20/9) C x^(9/4) + Cx + D

где D - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, мы нашли первообразную функции f(x).