Чтобы найти предел функции lim (5x⁶ + 7) / (x² + 1) при x → ∞, нужно следовать следующим шагам:

1. Анализ степени числителя и знаменателя: В числителе у нас многочлен 5x⁶ + 7, а в знаменателе — x² + 1. Степень числителя равна 6, а степень знаменателя равна 2.
2. Сравнение степеней: Поскольку степень числителя (6) больше степени знаменателя (2),это означает, что при x, стремящемся к бесконечности, числитель будет расти быстрее, чем знаменатель.
3. Формальный подход: Чтобы формально определить предел, разделим числитель и знаменатель на x², самую высокую степень в знаменателе:
• Числитель: (5x⁶ + 7) / x² = 5x⁴ + 7/x²
• Знаменатель: (x² + 1) / x² = 1 + 1/x²
4. Упрощение выражения: Теперь предел принимает вид:
• lim (5x⁴ + 7/x²) / (1 + 1/x²) при x → ∞
5. Анализ поведения при x → ∞:
• Член 5x⁴ стремится к бесконечности.
• Член 7/x² стремится к 0, так как x² стремится к бесконечности.
• Член 1/x² в знаменателе также стремится к 0.
6. Вывод: Таким образом, выражение упрощается до:
• lim 5x⁴ / 1 = ∞
7. Заключение: Предел функции при x, стремящемся к бесконечности, равен бесконечности.

Таким образом, lim (5x⁶ + 7) / (x² + 1) при x → ∞ = ∞.