x→0lim​x4cosx−1+2x2​​ равен:

• 1/24
• −1/2
• 1/30

Другие предметы Университет Пределы функции математический анализ университет предел функции лимит x→0 x4cosx вычисление предела математические задачи Новый

Чтобы найти предел выражения lim (x→0) (x^4 * cos(x) - 1 + 2x^2), начнем с подстановки значения x = 0 в данное выражение.

При подстановке мы получаем:

• cos(0) = 1, поэтому x^4 * cos(x) при x = 0 будет равно 0^4 * 1 = 0.
• Таким образом, выражение становится 0 - 1 + 2 * 0^2 = -1.

Однако, мы видим, что это значение приводит к неопределенности. Поэтому будем использовать разложение в ряд Тейлора для функции cos(x) вокруг нуля:

Ряд Тейлора для cos(x) выглядит так:

• cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6).

Теперь подставим это разложение в наше выражение:

Мы имеем:

• x^4 * cos(x) = x^4 * (1 - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6)) = x^4 - x^6/2 + x^8/24 + O(x^{10}).

Теперь подставим это обратно в предел:

lim (x→0) (x^4 - x^6/2 + x^8/24 + O(x^{10}) - 1 + 2x^2).

Упрощая, получаем:

• lim (x→0) (x^4 + 2x^2 - 1 - x^6/2 + x^8/24 + O(x^{10})).

Теперь рассмотрим каждый из членов при x, стремящемся к 0:

• x^4 стремится к 0.
• 2x^2 стремится к 0.
• -1 остается -1.
• -x^6/2 и x^8/24 также стремятся к 0.

Таким образом, мы получаем:

lim (x→0) (0 + 0 - 1 + 0 + 0) = -1.

Теперь нам нужно найти производные, чтобы использовать правило Лопиталя, так как мы имеем 0/0. Но в данном случае это не требуется, так как мы уже нашли ответ.

Ответ: -1.