Похожие вопросы
2025-09-04 18:05:22
Найдите предел lim (x / (x + 1))ˣ, при x ⟶ ∞
- 1/e
- −1/e
- ∞
- 1/e²
Другие предметы Университет Пределы и бесконечности предел высшая математика университет лимит x бесконечность E математический анализ функции предельные значения
2025-09-04 18:05:36
Для нахождения предела lim (x / (x + 1))ˣ при x ⟶ ∞ мы начнем с анализа выражения внутри предела.
Рассмотрим дробь (x / (x + 1)). При x стремящемся к бесконечности, мы можем упростить это выражение:
- Делим числитель и знаменатель на x:
- (x / (x + 1)) = (1 / (1 + 1/x)).
Когда x стремится к бесконечности, 1/x стремится к 0. Таким образом:
(1 / (1 + 1/x)) стремится к 1.
Теперь мы можем записать предел в следующем виде:
lim (x / (x + 1))ˣ = lim (1 - 1/(x + 1))ˣ.
Теперь, чтобы упростить выражение, мы воспользуемся свойством предела:
При x стремящемся к бесконечности, можно переписать это как:
lim (1 - 1/(x + 1))ˣ = lim (1 - 1/x)ˣ.
Здесь мы видим, что это выражение принимает форму (1 - 1/n)ⁿ, где n = x. Мы знаем, что:
lim (1 - 1/n)ⁿ = e-1 при n стремящемся к бесконечности.
Поэтому:
lim (1 - 1/x)ˣ = e-1.
Таким образом, предел:
lim (x / (x + 1))ˣ = e-1.
Ответ: e-1.