Чтобы найти производную функции f(x) = x * -arctg(2x), мы воспользуемся правилом произведения и правилом дифференцирования сложной функции. Давайте рассмотрим шаги более подробно.

1. Определим компоненты функции:
   • u(x) = x
   • v(x) = -arctg(2x)
2. Применим правило произведения: Если f(x) = u(x) * v(x), то f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).
3. Найдем производные u(x) и v(x):
   • u'(x) = 1
   • Теперь найдем v'(x):
     • v(x) = -arctg(2x)
     • Для нахождения v'(x) используем правило дифференцирования арктангенса:
       • Если y = arctg(kx), то dy/dx = k / (1 + (kx)^2).
     • В нашем случае k = 2, следовательно:
       • v'(x) = -[2 / (1 + (2x)^2)] = -[2 / (1 + 4x^2)].
4. Подставим найденные производные в правило произведения:
   • f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
   • f'(x) = 1 * (-arctg(2x)) + x * (-[2 / (1 + 4x^2)])
   • f'(x) = -arctg(2x) - [2x / (1 + 4x^2)].

Таким образом, производная функции f(x) = x * -arctg(2x) равна:

f'(x) = -arctg(2x) - (2x / (1 + 4x^2)).

Обратите внимание, что среди предложенных вами вариантов ответа такого выражения нет. Пожалуйста, проверьте свои варианты или уточните вопрос.