Найдите производную функции y = cos(5x⁴ + 2)

1. −20x³sin(5x⁴ + 2)
2. −sin(5x⁴ + 2)
3. −sin20x³
4. 20x³sin(5x⁴ + 2)

Другие предметы Университет Производные функций высшая математика производная функции университет cos sin математический анализ учебные задания решение задач математические функции подготовка к экзаменам Новый

Чтобы найти производную функции y = cos(5x⁴ + 2) − 20x³sin(5x⁴ + 2) − sin(5x⁴ + 2) − sin(20x³)20x³sin(5x⁴ + 2), мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило произведения и правило цепочки.

Давайте разобьем функцию на несколько частей для удобства:

• f1(x) = cos(5x⁴ + 2)
• f2(x) = -20x³sin(5x⁴ + 2)
• f3(x) = -sin(5x⁴ + 2)
• f4(x) = -sin(20x³)20x³sin(5x⁴ + 2)

Теперь найдем производные каждой из этих частей по отдельности.

1. Производная f1(x):

Для функции f1(x) = cos(5x⁴ + 2) используем правило цепочки:

• Производная cos(u) = -sin(u), где u = 5x⁴ + 2.
• Производная u = 5 * 4x³ = 20x³.

Итак, производная f1(x) будет:

f1'(x) = -sin(5x⁴ + 2) * 20x³.

2. Производная f2(x):

Для функции f2(x) = -20x³sin(5x⁴ + 2) применяем правило произведения:

• u = -20x³ и v = sin(5x⁴ + 2).
• Производная u = -60x².
• Производная v = cos(5x⁴ + 2) * 20x³.

Теперь используем правило произведения:

f2'(x) = u'v + uv' = -60x²sin(5x⁴ + 2) + (-20x³)(cos(5x⁴ + 2) * 20x³).

Упрощаем:

f2'(x) = -60x²sin(5x⁴ + 2) - 400x⁶cos(5x⁴ + 2).

3. Производная f3(x):

Для функции f3(x) = -sin(5x⁴ + 2) используем правило цепочки:

• Производная -sin(u) = -cos(u), где u = 5x⁴ + 2.
• Производная u = 20x³.

Итак, производная f3(x) будет:

f3'(x) = -cos(5x⁴ + 2) * 20x³.

4. Производная f4(x):

Для функции f4(x) = -sin(20x³) * 20x³sin(5x⁴ + 2) также применяем правило произведения:

• u = -sin(20x³) и v = 20x³sin(5x⁴ + 2).
• Производная u = -cos(20x³) * 60x².
• Производная v = 20x³ * cos(5x⁴ + 2) * 20x³ + 20sin(5x⁴ + 2) * 3x².

Теперь используем правило произведения:

f4'(x) = u'v + uv' = (-cos(20x³) * 60x²)(20x³sin(5x⁴ + 2)) + (-sin(20x³))(20x³ * cos(5x⁴ + 2) * 20x³ + 60x²sin(5x⁴ + 2)).

Это выражение можно упростить, но для начала запишем его в таком виде.

Теперь, чтобы найти общую производную y', мы просто сложим все найденные производные:

y' = f1'(x) + f2'(x) + f3'(x) + f4'(x).

Подставляя все найденные производные, получаем окончательное выражение для производной функции y.

Это и есть полный процесс нахождения производной данной функции. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, пожалуйста, задавайте!