Найдите производную функции y = x√x∛x

1. 11/6 ⋅ x^(5/6)
2. x^(5/6)
3. 3x√(x²)

Другие предметы Университет Производные функций высшая математика производная функции университет математический анализ функции и производные учебные задания высшей математики решение задач по производным Новый

Для нахождения производной функции y = x√x∛x + 11/6 ⋅ x^(5/6) + 3x√(x²), мы сначала упростим выражение и затем применим правила дифференцирования.

1. Упростим функцию y:

• Функция y состоит из трех частей: x√x, ∛x и 11/6 ⋅ x^(5/6) + 3x√(x²).
• Мы можем переписать √x как x^(1/2), а ∛x как x^(1/3), и √(x²) как x, так как x ≥ 0.

Таким образом, функция y будет выглядеть так:

• y = x * x^(1/2) * x^(1/3) + 11/6 * x^(5/6) + 3x * x.

2. Упростим каждую часть:

• Первая часть: x * x^(1/2) * x^(1/3) = x^(1 + 1/2 + 1/3) = x^(11/6).
• Вторая часть остается без изменений: 11/6 * x^(5/6).
• Третья часть: 3x * x = 3x².

Теперь мы можем записать функцию y в более простой форме:

• y = x^(11/6) + 11/6 * x^(5/6) + 3x².

3. Теперь найдем производную y' с использованием правила дифференцирования:

• Для первой части: y1 = x^(11/6). Производная y1' = (11/6) * x^(11/6 - 1) = (11/6) * x^(5/6).
• Для второй части: y2 = 11/6 * x^(5/6). Производная y2' = (11/6) * (5/6) * x^(5/6 - 1) = (55/36) * x^(-1/6).
• Для третьей части: y3 = 3x². Производная y3' = 6x.

4. Теперь сложим все производные:

• y' = (11/6) * x^(5/6) + (55/36) * x^(-1/6) + 6x.

Таким образом, окончательная производная функции y будет:

y' = (11/6) * x^(5/6) + (55/36) * x^(-1/6) + 6x.