Похожие вопросы
2025-09-04 18:06:48
Найдите производную функции y = xe^x – e^x
- xe^x
- e^x
- xe
Другие предметы Университет Производная функции производная функции высшая математика университете xe^x e^x нахождение производной математический анализ учебные задачи решение уравнений
2025-09-04 18:07:01
Для нахождения производной функции y = xe^x – e^x xe^xe^xxe, мы сначала упростим выражение. Давайте разберем его на части и найдем производную каждой из них по отдельности.
Функция состоит из двух частей:
- Первая часть: xe^x
- Вторая часть: e^x xe^xe^xxe
Теперь найдем производные каждой из этих частей.
1. Производная первой части: xe^x
Для нахождения производной используем правило произведения, которое гласит, что если u и v - функции от x, то производная их произведения uv равна:
(uv)' = u'v + uv'.
В нашем случае:
- u = x, тогда u' = 1;
- v = e^x, тогда v' = e^x.
Теперь применим правило произведения:
(xe^x)' = (1)(e^x) + (x)(e^x) = e^x + xe^x = e^x(1 + x).
2. Производная второй части: e^x xe^xe^xxe
Эта часть выражения также является произведением нескольких функций, поэтому мы будем использовать правило произведения несколько раз.
Сначала упростим выражение:
e^x xe^x = x e^(2x).
Теперь у нас есть:
y = x e^(2x) e^x x e = x^2 e^(3x).
Теперь найдем производную этой функции:
- u = x^2, тогда u' = 2x;
- v = e^(3x), тогда v' = 3e^(3x).
Теперь применим правило произведения:
(x^2 e^(3x))' = (2x)(e^(3x)) + (x^2)(3e^(3x)) = 2x e^(3x) + 3x^2 e^(3x) = e^(3x)(2x + 3x^2).
Теперь, когда мы нашли производные обеих частей, мы можем объединить их:
y' = производная первой части - производная второй части:
y' = e^x(1 + x) - e^(3x)(2x + 3x^2).
Таким образом, окончательный ответ:
y' = e^x(1 + x) - e^(3x)(2x + 3x^2).