Значение производной функции y=x∙lnx в точке x0=e равно …

Другие предметы Университет Производная функции значение производной функция y=x∙lnx точка x0=e математика университет Новый

Чтобы найти значение производной функции ( y = x \cdot \ln(x) ) в точке ( x_0 = e ), давайте подробно разберем шаги решения.

Шаг 1. Найдем общую формулу для производной функции

Функция ( y = x \cdot \ln(x) ) представляет собой произведение двух функций: ( u(x) = x ) и ( v(x) = \ln(x) ). Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

(uv)' = u'v + uv'

В нашем случае:

• \( u(x) = x \), следовательно, \( u'(x) = 1 \).
• \( v(x) = \ln(x) \), следовательно, \( v'(x) = \frac{1}{x} \).

Теперь подставляем в формулу:

\( y'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)

\( y'(x) = (1) \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} \)

\( y'(x) = \ln(x) + 1 \)

Шаг 2. Подставим \( x_0 = e \) в производную

Теперь, когда у нас есть формула для производной ( y'(x) = \ln(x) + 1 ), подставим ( x_0 = e ):

• \( \ln(e) = 1 \), так как натуральный логарифм числа \( e \) равен единице.

\( y'(e) = \ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2 \)

Ответ:

Значение производной функции ( y = x \cdot \ln(x) ) в точке ( x_0 = e ) равно 2.