Чтобы найти значение производной функции \( y = x \cdot \ln(x) \) в точке \( x_0 = e \),давайте подробно разберем шаги решения.

Шаг 1. Найдем общую формулу для производной функции

Функция \( y = x \cdot \ln(x) \) представляет собой произведение двух функций: \( u(x) = x \) и \( v(x) = \ln(x) \). Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

(uv)' = u'v + uv'

В нашем случае:

• \( u(x) = x \),следовательно, \( u'(x) = 1 \).
• \( v(x) = \ln(x) \),следовательно, \( v'(x) = \frac{1}{x}\).

Теперь подставляем в формулу:

\( y'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)

\( y'(x) = (1) \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}\)

\( y'(x) = \ln(x) + 1 \)

Шаг 2. Подставим \( x_0 = e \) в производную

Теперь, когда у нас есть формула для производной \( y'(x) = \ln(x) + 1 \),подставим \( x_0 = e \):

• \( \ln(e) = 1 \),так как натуральный логарифм числа \( e \) равен единице.

\( y'(e) = \ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2 \)

Ответ:

Значение производной функции \( y = x \cdot \ln(x) \) в точке \( x_0 = e \) равно 2.