Найдите ∫ sin³x cosx dx

• 1) x√x + C
• 2) 2/3 ⋅ √x + C
• 3) 2/3 ⋅ x√x + C
• 4) 3/2 ⋅ x√x + C

Другие предметы Университет Интегралы высшая математика интегралы sin3x cosX университет математический анализ решение интегралов учебные материалы подготовка к экзаменам Новый

Чтобы найти интеграл ∫ sin³x cosx dx, воспользуемся методом подстановки. Давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить.

1. Выбор подстановки: Заметим, что производная функции sin(x) равна cos(x). Это подсказывает нам, что мы можем использовать подстановку u = sin(x). Тогда du = cos(x) dx.
2. Замена переменных: Подставим u в наш интеграл:
   • sin³x = u³
   • cosx dx = du
   Таким образом, интеграл становится:

   ∫ sin³x cosx dx = ∫ u³ du.

3. Интегрирование: Теперь мы можем интегрировать u³:

   ∫ u³ du = (1/4) u⁴ + C.

4. Возврат к исходной переменной: Поскольку u = sin(x), подставим обратно:

   (1/4) sin⁴(x) + C.

Теперь, чтобы привести результат к одному из предложенных вариантов, мы можем воспользоваться формулой для sin²(x): sin²(x) = 1 - cos²(x). Однако мы не видим явной связи с предложенными вариантами ответов.

Давайте рассмотрим предложенные варианты:

• 1) x√x + C
• 2) (2/3) √x + C
• 3) (2/3) x√x + C
• 4) (3/2) x√x + C

Кажется, что ни один из предложенных вариантов не соответствует результату интегрирования ∫ sin³x cosx dx, который мы получили.

Таким образом, правильный ответ не входит в предложенные варианты. Если у вас есть другие данные или условия задачи, пожалуйста, уточните их.