Найдите ∫ √(x)dx / (x + 1)

Другие предметы Университет Интегралы интеграл математический анализ ∫ √(x)dx интегрирование университетская математика Новый

Чтобы найти интеграл ∫ √(x)dx / (x + 1), мы можем использовать метод подстановки. Давайте разберем шаги решения этого интеграла.

1. Подстановка: Мы можем сделать подстановку, чтобы упростить интеграл. Пусть u = √(x). Тогда x = u², и dx = 2u du.
2. Замена переменных: Теперь подставим все в интеграл:
   • √(x) = u,
   • x + 1 = u² + 1.
   Таким образом, интеграл становится: ∫ (u * 2u du) / (u² + 1) = ∫ (2u² du) / (u² + 1).
3. Упрощение интеграла: Теперь мы можем упростить интеграл: ∫ (2u² du) / (u² + 1) = 2∫ (u² du) / (u² + 1).
4. Разделение интеграла: Мы можем использовать деление: u² / (u² + 1) = 1 - 1 / (u² + 1). Таким образом, интеграл можно разделить: 2∫ (1 - 1 / (u² + 1)) du = 2∫ du - 2∫ (1 / (u² + 1)) du.
5. Интегрирование:
   • Первый интеграл: 2∫ du = 2u.
   • Второй интеграл: 2∫ (1 / (u² + 1)) du = 2arctan(u).
   Таким образом, у нас получается: 2u - 2arctan(u) + C.
6. Возврат к исходной переменной: Теперь нужно вернуть подстановку обратно. Помним, что u = √(x). Подставим это обратно: 2√(x) - 2arctan(√(x)) + C.

Итак, окончательный ответ на интеграл ∫ √(x)dx / (x + 1) будет:

2√(x) - 2arctan(√(x)) + C.