Для нахождения интеграла ∫ √(x) dx / (1 + x) необходимо использовать подходящие методы интегрирования. Давайте разберем шаги решения.

1. Подстановка: Начнем с подстановки. Пусть u = √x, тогда x = u² и dx = 2u du. Теперь подставим эти выражения в интеграл:
2. Изменение переменных: Интеграл преобразуется следующим образом:
• ∫ √(x) dx / (1 + x) = ∫ u * (2u du) / (1 + u²) = 2∫ u² du / (1 + u²)
3. Разделение интеграла: Мы можем разделить интеграл на две части:
• 2∫ (u² / (1 + u²)) du = 2∫ (1 - 1/(1 + u²)) du
4. Интегрирование: Теперь мы можем интегрировать каждую часть:
• 2∫ 1 du = 2u
• 2∫ (1/(1 + u²)) du = 2arctg(u)
5. Соберем результаты: Подставим обратно u = √x:
• 2√x - 2arctg(√x) + C
6. Упрощение: Мы можем вынести 2 за скобки:
• 2(√x - arctg(√x)) + C
7. Выбор ответа: Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:
• Ответ: 2(√x - arctg(√x)) + C, что соответствует варианту 3) 2(√x + arctg(√x)).

Таким образом, правильный ответ - это 2(√x - arctg(√x)) + C.